每日一题[250] 数形结合

已知函数 ，其中 ．若存在 ，且 ，使得 ，求证： ．

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证明    根据已知，有

观察欲证不等式的形式，将 (1) 中的两式相减，可得

于是欲证不等式可以变形为

将 (2) 中的代数式用图形表示，可知由

可得欲证不等式成立．

得到了几何图形的支持以后，需要给出严格的证明．

事实上，可以根据几何图形证明一个更强的结论：

引理    当 或 增大时， 的取值 均减少．

引理的证明    记 ，则

而

于是 ，进而可得当 增大时， 的取值增大．同理可得当 增大时， 的取值也增大．

这样一来，对 (3) 应用引理即有结论．

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接下来，可以将解法改写．

由于函数 的导函数为

函数 在区间 上有两个不同零点，于是 必然存在区间上的极值点，因此函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．于是

整理即得欲证不等式．

注    先通过发现题目的几何解释，然后在几何层面上加强结论，再回到代数层面给出简洁的解答是数形结合思想的核心，也是研究函数问题时的重要“修炼”手段．

关于数海拾贝

“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。如果您想表达自己独到的见解（或有意见及建议），请发送至[e-mail]。

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