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http://tanglizeng.blog.163.com/blog/static/83142094201171673124150/ 鸡兔同笼问题的解法集锦- 我行我素的日志- 网易博客鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。那是已知鸡兔的总头数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类典型应用题（本博前面曾多次介绍，为便于阅读在本文最后加了链接，有兴趣可点击查看）。它的题型虽然固定，但解题思路方法却多种多样，如假设法、削补法、转化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等，且解法还在不断创新。下面举一例给出几种解法供参考。 例：鸡兔同笼，上有40个头，下有100只足。鸡兔各有多少只？ 1、极端假设 解法一：假设40个头都是鸡，那么应有足2×40=80（只），比实际少100-80=20（只）。这是把兔看作鸡的缘故。而把一只兔看成一只鸡，足数就会少4-2=2（只）。因此兔有20÷2=10（只），鸡有40-10=30（只）。 解法二：假设40个头都是兔，那么应有足4×40=160（只），比实际多160-100=60（只）。这是把鸡看作兔的缘故。而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只）。因此鸡有60÷2=30（只），兔有40-30=10（只）。 解法三：假设100只足都是鸡足，那么应有头100÷2=50（个），比实际多50-40=10（个）。把兔足看作鸡足，兔的只数（头数）就会扩大4÷2倍，即兔的只数增加（4÷2-1）倍。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），鸡有40-10=30（只）。 解法四：假设100只足都是兔足，那么应有头100÷4=25（个），比实际少40-25=15（个）。把鸡足看作兔足，鸡的只数（头数）就会缩小4÷2倍，即鸡的只数减少1-1÷（2÷4）=1/2。因此鸡有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）。 2、任意假设 解法五：假设40个头中，鸡有12个（0至40中的任意整数），则兔有40-12=28（个），那么它们一共有足2×12+4×28=136（只），比实际多136-100=36（只）。这说明有一部分鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只），因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18（只）。那么鸡实际有12+18=30（只），兔实际有28-18=10（只）。 解法六：假设100只足中，有鸡足80只（0至100中的任意整数，最好是2的倍数），则兔足有100-80=20（只），那么它们一共有头80÷2+20÷4=45（个），比实际多45-40=5（个）。这说明把一部分兔足看作鸡足了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作鸡的只数是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔实际有20÷4+5=10（只），鸡实际有40-10=30（只）。 通过比较可知：任意假设是极端假设的一般形式，而极端假设是任意假设的特殊形式，也是简便解法。 3、除减法 解法七：用脚的总数除以2，也就是100÷2=50（只）。这里我们可以设想为，每只鸡都是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。这样在50这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从50减去总头数40，剩下的就是兔子头数10只。有10只兔子当然鸡就有30只。 这种解法就是《孙子算经》中记载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！ 4、盈亏法 解法八：把总足数100看作标准数。假设鸡有25只，兔则有40-25=15（只），那么它们有足2×25+4×15=110（只），比标准数盈余110-100=10（只）；再假设鸡有32只，兔则有40-32=8（只），那么它们有足2×32+4×8=96（只），比标准数不足100-96=4（只）。根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔则有40-30=10（只）。 5、比例分配 解法九：40个头一共100只足，平均每个头有足100÷40=2.5（只）。而一只鸡比平均数少（2.5-2）只足，一只兔比平均数多（4-2.5）只足。根据平均问题的“移多补少”思想：超出总数等于不足总数，故知：（2.5-2）×鸡的只数=（4-2.5）×兔的只数。因此， 鸡的只数︰兔的只数=（4-2.5）︰（2.5-2）=1.5︰0.5=3︰1 按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。即鸡有40×3/（3+1）=30（只），而兔则有40×1/（3+1）=10（只）。 6、布列方程 解法十：设鸡有x只，那么兔有（40-x）只。根据题意列方程： 2x+4（40-x）=100 解这个方程得：x=30 40-x=40-30=10那么鸡有30只，兔有10只。 鸡兔的头数关系除了“和”的形式外，还可以把“差”和“倍数”作为已知条件。同样，鸡兔的足数关系除了“和”的形式外，也可以把“差”和“倍数”作为已知条件。如果把鸡兔头数关系的三种条件与足数关系的三种条件交叉组合，除了上面的例题，还可以形成以下变式练习题。 1、鸡兔同笼，它们一共有100只，而鸡足比兔足多80只。鸡兔各有多少只？ 2、鸡兔同笼，它们一共有84只，而鸡足是兔足的3倍。鸡兔各有多少只？ 3、鸡兔同笼，鸡比兔多26只，它们一共有274只足。鸡兔各有多少只？ 4、鸡兔同笼，鸡比兔多3只，兔比鸡多28只足。鸡兔各有多少只？ 5、鸡兔同笼，鸡比兔少10只，兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只？ 6、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，它们一共有120只足。鸡兔各有多少只？ 7、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，鸡足比兔足多120只。鸡兔各有多少只？ 8、鸡兔同笼，鸡比兔的3倍多6只，鸡足比兔足的2倍少24只。鸡兔各有多少只？ 附： 鸡兔同笼变式题组的参考答案 以上题组，每道题都有多种解法。下面提供的仅仅是参考答案，其思想方法，还需要读者作进一步的探讨明晰。 1、解一：（2×100-80）÷（4+2）=20（只）----（兔） 解二：（4×100+80）÷（4+2）=80（只）----（鸡） 解三：（100-80÷2）÷（4÷2+1）=20（只）----（兔） 解四：（100+80÷4）÷（4÷2+1）-80÷4=20（只）----（兔） 2、解一：84÷（4×3÷2+1）=12（只）----（兔） 解二：2×84÷（4×3+2）=12（只）----（兔） 3、解一：（274-2×26）÷（4+2）=37（只）----（兔） 解二：（274+4×26）÷（4+2）=63（只）----（鸡） 解三：（274÷2-26）÷（4÷2+1）=37（只）----（兔） 4、解一：（28+2×3）÷（4-2）=17（只）----（兔） 解二：（28+4×3）÷（4-2）=20（只）----（鸡） 解三：（3+28÷2）÷（4÷2-1）=17（只）----（兔） 解四：（3+28÷4）÷（1-2÷4）=20（只）----（鸡） 5、解一：10÷（2×3÷4-1）=20（只）----（鸡） 解二：4×10÷（3-2）÷2=20（只）----（鸡） 6、解一：120÷（4+2×3）=12（只）----（兔） 解二：120÷（2×3÷4+1）÷4=12（只）----（兔） 7、解一：120÷（2×3-4）=60（只）----（兔） 解二：120÷2÷（3-2）=60（只）----（兔） 解三：120÷4×3÷（3-2）-120÷4=60（只）----（兔） 8、解一：（24÷2+6）÷（2×2-3）=18（只）----（兔） 解二：（6×2+24）÷（2-3÷2）÷4=18（只）----（兔） 公式：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） 兔数＝（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数）. 例1、 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？ 分析与解答：本题以“分”作为单位就改为：红铅笔每支19分，蓝铅笔每支11分，两种铅笔共买了16支，花了280分。问红、蓝铅笔各买几支？ 我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了。 利用上面算兔数公式，就有： 蓝笔数＝（19×16－280）÷（19－11）＝24÷8＝3（支）. 红笔数＝16－3＝13（支）. 答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔. 例2、一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？ 分析与解答：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）， 甲每小时打30÷6＝5（份），乙每小时打30÷10＝3（份）. 现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7，“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了. 根据前面的公式 “兔”数＝（30－3×7）÷（5－3）＝4.5， “鸡”数＝7－4.5＝2.5， 也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时. 答：甲打字用了4小时30分.
前面在《鸡兔同笼问题的解答》和《用“鸡兔同笼问题”的解题思路解决实际问题》里，所列举的题目都是鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 例1、 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡与兔各几只？ 分析与解答：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2＝14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2＝2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍. 兔的只数是：（100＋28÷2）÷（2＋1）＝38（只）. 鸡是：100－38＝62（只）. 答：鸡62只，兔38只. 当然也可以去掉兔28÷4＝7（只）这时鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2＝2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍，所以原来兔的只数是（100－28÷4）÷（2＋1）＋7＝38（只） 例2、买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？ 分析与解答： 如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。 （680－8×40）÷（8＋4）＝30（张），即余下的邮票中，8分和4分的各有30张。 因此8分邮票有40＋30＝70（张）. 答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”. 例3、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首？ 分析与解答：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 5×4×13＋20＝280（字）. 每首字数相差：7×4－5×4＝8（字）. 因此，七言绝句有：280÷8＝35（首）. 五言绝句有：35＋13＝48（首）. 答：五言绝句48首，七言绝句35首. 对于上述例1、例2和例3三个问题，我们也可以像前面两篇博文那样解答，假设都是兔，或者都是鸡。如下面的做法： 例1假设都是兔，鸡的只数是（100×4－28）÷（4＋2）＝62（只） 例2假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680－8×40）÷（8＋4）＝30（张）. 例3假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20×13＋20）÷（28－20）＝35（首）. 请大家注意观察刚才列出的三个算式，把它们与“鸡兔同笼”公式（可点击本文开始列举的两篇查看）对照一下，就会发现非常有趣的事。这三个算式与“鸡兔同笼”公式比较，只是有一处“－”成了“＋”。其奥妙何在呢？当你继续学习时，就会明白了。 根据上面的探讨，请你想一想，下面这道题属于“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？ 题目：有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 解：如果没有破损，运费应是2000×0.2＝400元。但破损一只要减少1＋0.2＝1.2（元）.因此破损只数是（400－379.6）÷（1＋0.2）＝17（只）. 答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。 玻璃厂委托运输公司运2000块玻璃,每块0.4元,损坏1块赔偿7元,共得711.2元,损坏多少块? 这是一个鸡免同笼问题 先假设未损坏 2000*0.4=800元 与实际差800-711.2=88.8元 损坏一块差0.1+7=7.4元 88.8/7.4=12块 某玻璃厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元．如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元，结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元，求打碎了几个玻璃杯？ （1000×1-920）÷（1+3）， =80÷4， =20（个）； 答：打碎了20个 |
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