蓝色字数学式--数学竞赛题资料
初中数学竞赛练习题（二）
一、填空题：1、直角三角形两直角边的长为a、b、斜边为c，若它的周长等于面积数，
则a＋b－c=________2、若x、x是方程x＋x＋p=0的两实根，若|x－x|=p成立，则p的值等于___
3、如图⊿ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，则∠ECD的度数是_______4、已知关于x的一元二次方程的两根和为S，两根的平方和为S，两根的立方和为S，则aS＋bS＋cS________5、已知方程组有一个实数解，则=_______这个解为________6、已知，则________
二、选择题：7、若方程无实根，则方程的根的情况是（）（A）有四个实根（B）有两个实根（C）只有一个实根（D）无实根8、下列三组数，不可能是一个三角形的三条高的长度的是（）（A）1，，2（B）3，4，5（C）5，12，13（D）7，8，9、若一元二次方程有两个等根，则有（）（A）（B）（C）（D）10、某校禄二年级有13个兴趣小组，各组的人数如下：
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 人数 2 3 5 7 9 10 11 13 14 17 21 22 24 一天下午同时举办语文、数学讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听数学讲座人数是听语文讲座人数的6倍，问不去听讲座的是（）（A）第四组（B）第七组（C）第九组（D）第12组11、若实数、满足方程，则代数式的值为（）（A）175（B）55（C）13（D）712、已知则下列说法正确的是（）（A）x是完全平方数（B）（x－50）是完全平方数（C）（x－25）是完全平方数（D）（x＋50）是完全平方数三、解答题：
13、试求方程的正整数解．14、求方程的自然数解15、等边三角形内有一点P，已知∠APB=113°，∠BPC=123°，若以PA、PB、PC为边组成一个新的三角形，求这个新三角形的内角的度数．16、求证：方程有两个不等的实数根，且一个大于，一个小于．
17、将正方形ABCD分割为n2个相等的小正方形（小方格），（n是自然数），把相对的顶点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染成红色或蓝色，试证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目个数是偶数.
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初中数学竞赛练习题（二）解答
一、填空题解答：1、ab－c∴∴2c＋4=a＋b＋c
∴a＋b－c=42、|x－x|∴∴p=－2＋3、∠ACD=90°－∠A∠BCE=90°－∠B90°＋∠ECD=180°－45°∴∠ECD=45°4、两式相加即可证得aS＋bS＋cS05、有一个实数解，则a=±3，则解为（x、y、z）=（2，－1，5）6、由已知，，∴4和16是方程的根则∴∴=10
二、选择题：DCDBDC7、由已知：，则原方程化为无实根．8、设三角形三边为a、b、c，对应高为h、h、h，则a∶b∶c=∶∶而＜而不能构成三角形9、∵（b－c）＋（a－b）＋（c－a）=0又方程有等根∴x1=x2=1∴10、设听数学x人，听语文y人，不去听的z人，则x=6y，又x＋y＋z=158则7y＋z=158z可取的正整数为4，11，18，25，故符合条件的是第七组．11、由已知和b都是正数，且是方程y2＋y－3=0的两根．∴原式=12、是一个完全平方数．13、试求方程的正整数解．解：∴⑴⑵⑶⑷解得：⑴⑵⑶⑷14、求方程的自然数解解：∵n是自然数，∴＜……………………(2)(1)得＞3.6∴n＞1.6得n＜＜=4.5∴1.6＜n＜4.5∴n可取的值为2、3、4经检验2和4不符合方程，3适合方程；所以的自然数解为3．15、等边三角形内有一点P，已知∠APB=113°，∠BPC=123°，若以PA、PB、PC为边组成一个新的三角形，求这个新三角形的内角的度数．解：以A为中心按逆时针方向将⊿APC旋转60°可得⊿APC，则PC=PB连PP得正⊿APP∴P′P=PA故⊿PPC即以PA、PB、PC为边的三角形∵∠APC=∠APB=113°∠AP′P=∠APP′=60°∴∠PP′C=53°又∠APC=360°-113°-123°=124°∴∠PPC=64°∴∠PCP′=180°－53°－64°=63°16、求证：方程有两个不等的实数根，且一个大于，一个小于．证明：，则∴y－by－1=0∵⊿=b＋4＞0∴－by－1=0有两个不等实根又yy=－1＜0∴方程的两根异号，即一正根，一负根．不仿设y＞0，则y＜0∴x－a＞0x－a＜0∴x＞x＜命题得证17、将正方形ABCD分割为n个相等的小正方形（小方格），（n是自然数），把相对的顶点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染成红色或蓝色，试证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目个数是偶数.证明（一）：用数表示颜色，红点记0，蓝点记1，每个小方格的和为容量为，则三顶点同色时=1或=3，否则为0、2、4，前者称为奇方格，后者称为偶方格.则n个方格之和=4×（正方形内前点数之和）＋2×（正方形边上非顶点的交点数之和）+2=奇方格容量之和＋偶方格容量之和∴奇方格容量之和为偶数，∴奇方格个数为偶数.即可知恰有三个顶点同色的小方格的数目个数是偶数.证明（二）用数表示颜色，红点记0，蓝点记1，将小方格记为，=1、2、3、…、n，记个小方格四个顶点的四数之和为A，则有三顶点颜色相同时A=－1，否则A=1，现考察A·A·A·…·A的积，正方形内部的交点的数都要算4次，边上靠顶点的数算2次，，A、B、C、D四点之积为则A·A·A·…·A=1，则A1、A2、A3、…、A中－1的个数必是偶数个，即有有三个顶点同色的小方格的数目个数是偶数．?
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