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Morley三角形 平几里的三角形，可以不夸张地说，几乎大家天天见，可你对它的内在性质又有多少了解呢？记忆中的数学可能已经远去，但你的脑海里必然会留下了一些难以磨灭的痕迹！比如说三角形的内角和是180度。 如果要求的再高一点,你可能会记得三角形的几个心,我们耐心地数一数,三角形到底有多少个心呢?重心、内心、外心、垂心，记得更多一点儿，你可能还知道旁心！如果你还知道什么正等角中心（Fermat点）之类的,恭喜你达到了专家的级别! 平面几何发展了上千年,里面新的发现已经不多了,这就象土地一样,不断地在上面耕耘,收获就越来越少!也象矿藏一样,不断地掘宝,就会有一天,掘地三尺也会一无所获! 比如三角形的内心,大家研究的一致方向是共线点问题,也就是研究三线交于一点,著名的有Ceva定理(记住:不会这个你就别奥赛了)。 历史上也有一个著名的三等分任意角不能问题。“尺规三等分己知角”是著名的古典几何三大问题之一，历经两千多年，不少人绞尽了脑汁，经过无数次的尝试，结果都失败了。直至1837年，万芝尔（Wantzel）首先证明这是尺规作图不能问题”。正因为如此，有的数学家认为：长期以来，人们忽视了对三等分角的性质的研究。19世纪末、20世纪初是初等几何研究的复兴时期之一，这期间数学工作者及爱好者曾提出一些十分漂亮的定理。 好在平面几何不是这样,它有顽强的生命力! 其中有一条被誉为“最令人神往和惊讶”的著名定理，是由英国数学家F.Morley于1904年提出的下述定理,被誉为近世纪最美的平几定理，没有之一。 这个定理把三等分任意角和内心的推广联系到了一起： 三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的（不在同一个角的）两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点。 1900年当代著名的代数几何学家Frank. Morley(1860—1937)在《美国数学学会译丛》上发表了“平面n条直线的度量几何”一文,给出并证明了关于平面上n条直线的性质的一些相当一般的定理,作为这些定理的一个非常特殊的结果,即世人称谓的莫雷三等分定理(Morley Trisector Theorem)引起了过去80年来数学界的广泛注意,这是欧氏几何经过几千年的锤炼以后所能发现的为数极少的新的定理之一。 Morley曾对他的剑桥大学同学提到过这个定理，后来就称这个定理为'Morley定理'。这个定理Morley虽然早就发现了，但他一直没有发表证明，可能也真是不会证，过了20年才在日本正式发表。在这20年中，别的数学家也发现了这个定理。 这个定理为什么这么有名，首先是因为它的漂亮，真的感觉漂亮还不够，应该说美！想一想吧,三角形中的三线交于一点已经殊为不易,现在居然交出了一个等边三角形!二是因为它以证明的困难而著称！看似普通的平几问题，前后作为猜想存在了三十多年,这在平几的历史上是绝无仅有的!三是,三等分线中,只有相邻的交点才是正三角形的顶点,另一组离得远的交点并不是正三角形的顶点。 其纯几何证明相当困难，如果你有兴趣，可以去查《几何学辞典》（日）笹部贞世郎编著，那里面用了两页的篇幅探讨它的纯几何证法。后人在此基础上，总算得到了一些简化证明，我们对 Morley定理的研究日深 ,证明日简，林根老师也曾给了一个构造性的证明，发表在《数学通讯》上，由于其重要性，后来被鸿篇巨制《几何瑰宝》（陈文选教授编）收录，并在前言作了感谢。 你要不嫌难，我就帖给你看： 有些人不知道林根的工作，居然还在网上提这个定理的还原问题，'已知内Morley三角形的的三个顶点D、E、F，试还原三角形ABC（这问题似还没有解答，就我现在所能看到资料来说的，不过还是很有趣的）'.这不就是林根给了的构造性证明吗？ 不惟如此，网上也能看到一些新发现： 你想看到更难的东西吗？你可能很好奇，既然林根老师很牛，那么他有什么新发出？好，现在就满足你的好奇心。就林根老师的最新发现，帖给你看： 上图说的是：△ABC的Morley三角形为△DEF,上面帖出的林根的证明中已经证得AE、BD、CF交于点M1，AE‘、BD’、CF‘交于点M2，DD’、EE‘、FF’交于点O，则可以判断出来：M1， M2， O三点共线。 再难一点的，就是会有四点共线。 上图中有四点共线，你能猜出是哪四点吗？ 更难的嘛！你要不怕眼晕，应看下图： 呵呵~~ 有人想把Morley三角形推广到空间四面体中,这会成功吗?(下面是一个台湾人的想法) 问题还在于,三角形中除了内心的类比能得到Morley三角形的优美形式，此外,三角形的其它一些心还有类似推广吗？比如什么边三等分线啦之类,遗憾的是没有！至少目前有。你说这个Morley神奇不神奇! 谢谢阅读! 更多的内容请关注微信公众号:北京理科王. 加微信：lingen8365,您将进入“北京理科王”免费答疑群。 |
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