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| 数学竞赛题资料5(附解答) |
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蓝色字数学式--数学竞赛题资料(附解答)
初中数学竞赛题精选（一）
一、填空题：
1、若A=1001×1002×1003×…×2000B=1×3×5×…×1999则2、化简：=_______
3、实数满足：则_______
4、已知设，，，…时，的值分别为：，，，…，，
则：＋＋＋…＋的值等于________
5、如图：E、F、G、H把直角三角形的斜边五等分，其中连线CF=cosα，CG=Sinα，则斜边的长为_______
6、梯形ABCD被对角线分成四个小三角形，已知⊿AOB和⊿BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么，梯形ABCD的面积为cm2.
7、如图正方形ABCD的中心为O面积为1898，P为正方形只的一点，且∠APB=45°，PA:PB=5:14,则PB=______
8、不超过的最大整数是9、若b＋c=1
则10、设100个实数满足（0≤n≤100）并且则_二、选择题：
1、如果n是整数，那么N=的值（）
（A）只能是0（B）是偶数（C）是整数（D）不一定是整数
2、在⊿ABC中，点F在AC上，且AF:FC=1:2，点G是BF的中点，延长AG交BC于F，那么BE:EC为（）
（A）1:3（B）2:5（C）4:11（D）3:8
3、已知方程有两个正根，则下述结论①a＞0，b＞0，c＞0；
②a＜0，b＜0，c＜0；③a＞0，b＜0，c＜0；④a＜0，b＞0，c＞0中
肯定是错误的结论有（）（A）1（B）2（C）3（D）4
4、设实数P=则P满足（）
（A）0＜P＜1（B）1＜P＜2（C）2＜P＜3（D）P=5、四个2组成的数中，由小到大排列的是（）
（A）＜＜＜（B）＜＜＜
（C）＜＜＜（D）＜＜＜
6、关于x的方程无实根，则关于方程
的实根的个数是（）
（A）2个（B）1个（C）0个（D）不能确定
7、表示不超过的最大整数，，，表示不小于1的实数，则（）
（A）M＞N（B）M=N（C）M＜N（D）M≥N
8、已知锐角三角形ABC中AC＜AB＜BC，在⊿ABC的平面内使⊿PAB和⊿PBC都是等腰三角形的P点的个数是（）
（A）6（B）9（C）13（D）14
9、实数、满足记则M、N的大小关系为（）
（A）M＞N（B）M=N（C）M＜N（D）不能确定
10、设,x是二次方程的两根那么的值等于（）
（A）－4（B）8（C）6（D）0
三、解答题：
1、某服装厂有A、B、C、D四个组，已知A组每天可以加工8件上衣或10条裤子，B组每天能加工9件上衣或12条裤子，C组每天可以加工7件上衣或11条裤子，D组每天能加工6件上衣或7条裤子，现在上衣和裤子要求配套，问在7天里，这四个组最多能加工多少套衣服？
2、已知：0.是一个无限小数，且为奇数，为偶数，=＋的个位数，＋的个位数，＋的个位数，都是0—9这10个数，求证：A是一个有理数.
3、一工程，甲、乙、丙三人合作，已知甲单做所需天数为乙、丙合做天数的m倍，乙单做天数为甲、丙合做天数的n倍，丙单做天数为甲、乙合做天数的P倍，求证：4、已知，，且≠0；求5、求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长与面积之比都等于常数R（R≥1）
6、已知实系数的一元二次方程有两实根，设|
求＞＞且＋＋=0时，的取值范围.
7、二次方程中、、为⊿ABC的三边，且方程
两实根α、β满足α－β|=当时，求∠B的度数.
8、已知二次函数的图像与轴交于
A、B，交y轴于C（如图所示），已知AB·OB=6
求sin∠ACB9、已知α、β是方程的两根，且α＞β不解方程求
10、已知为实数，且使一元二次方程有实根，
求该方程根x能取到的最大值.
?
?
附解题答案：一、填空题：1解：
=
=
=
=?
2解：设A=B=则AB=－1∵
得A+B=1∴A、B是方程的根，∵A＞0∴
3解：用倒数法,,,
四式相加得：∴分别减去倒数式可得：,,,
四式相乘得：∴abcd=－
4解：原式=1000－2×
∵故括号内有500个，则原式=1000－2×500×=500
5解：设AE=EF=FG=GH=m，
AC2＋(2m)－2AC·2m·cosA=CF=cosα…………AC2＋(3m)－2AC·3m·cosA=CG=α…………(2)
①＋②：2AC＋13m－10mACcosA=1…………
cosA=
∴10mACcosA=AC+25m-BC2代入得：AC2-25m+BC2+13m-1=0∵AC+BC=25m13m=1∴m=∴AB=
6解：352=25S∴S=49
7解：连OA、OB，由∠BAO=∠BPO=45°
∴A、B、O、P四点共圆，则∠APB=∠AOB=90°
设PA=5则PB=14，则
解得=3∴PB=42
8解：设则xy=4
∴
∴
即∵0＜＜1∴0＜＜1
∴不超过的最大整数是70399解：原式=
=
===1
10解：将代入条件式得：－(100－1)＋1=0
∴98×199－99＋1=0∴得同理将代入条件式可得
猜想代入条件式检验是正确的∴
∴1＋3＋5＋…＋197＋199=×100(1＋199)=10000
?二、选择题1、∵n奇数=2k+1，则N=k（k+1）是偶数，n是偶数，则N=0，故选B
2、引FD∥BC交AE于D，则故选A
3、设两根为＞，＞0∴＋=＞0·=＞0故a、b异号，a、c同号
结论①②与a、b异号矛盾，结论③④与a、c同号矛盾，故选D
4、设则＞同时因∴1＜P＜2故选（B）
5、A
6、m＞5，当m=5时只有一根，故选D
7、当=1时M=N，当V=10时，M=，N=1，则M＞N，
∴M≥N，故选D
8、如图中线为中垂线可选的有三种交点∶AB的中垂线与圆交于4点，BC的中垂线与红圆交于4点，圆与红圆交于5点，两中垂线交于1点，共14点9、故选B
10、由已知∴
∵＋=－1∴
=
=故选D
?
三、解答题：1解：因每组的上衣和裤子的数量比为，，，∵＞＞＞
可见D组做上衣的效率最高，C组做裤子的效率最高，则让D组做上衣，让C组做裤子.
设A组做上衣x天，则做裤子（7－x）天，B组做上衣y天，则做裤子（7－y）天.
则有：∴∴19x＋21y=189
∴设则
∵0≤x≤7当=7有时，最大值125
答这四个组最多能加工125套衣服.
2解：∵奇数，是偶数，则是奇数，是奇数，是偶数，是奇数，是奇数，
是偶数，是奇数，是奇数，是偶数，是奇数，…，可见的数字排列
都是一连串的“奇偶奇”的循环，而两个单数如=1，=0的“奇偶奇”的数字排列
只有“101，123，583，145，943，707，741，561，785，381，909，987，527，965，167，303，369，549，325，729，101，…，”形成一个循环节，又=10，12，…98为有限个，同理可知都能形成一个循环节，∴是一个循环小数，则是有理数.
3解：设甲单做天数为x天，乙单做天数为y天，丙单做天数为z天，则
,∴
则
同理：
∴=1
4解：由已知，≠0则
∴是的两根，∴
∴原式=
5解：设矩形A和B分别为、和、，则需证：
xv=Rab满足的条件成立.
由上知、是方程的两根，且是两正根.
∵⊿=≥≥0
∴方程组有＞0，＞0的解，即矩形B存在.
6解：∵c=－a－b
∴4
∵a＞＞且＋＋=0
a＞0且＞＞－－∴＜1且＞－2∴－2＜＜1
∴关于的二次函数在－2＜＜1的取值范围是＜＜3
3＜＜12∴的取值是＜＜
7解：∵方程的两根为α、β，则α－β|=∴得∴
如图作高BD，∴∠A=30°∠ABC=180°－2∠A=120°
（又AD=，用勾股定理可得BD=，则∠A=30°）8解：设两交点、则有∴－3(m＋1)=6
∴得∴
令y=0则得
令x=0则y=－6
故三交点坐标为A（－3，0）B（－2，0）C（0，－6）
∴S⊿ABC=又
∵S⊿ABC=
∴得
9、∵α＋β=7αβ=8α＞β∴α－β=
∴2β=（α＋β）－（α－β）=7－∴
=
10、设为未知数，则方程有实根的条件是⊿=≥0
∴x≤把代入方程得∴∴a=时方程根X取到最大的值
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