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1、所有的自然数之和为-1/12。（第一次看到这个结论被惊呆了） 这个结论现在被用在很多的物理研究邻域里比如弦论。欧拉得到过这个等式，但那时收敛性的概念还很缺乏，所以可以说欧拉是“瞎弄”出的结果，当时他已经得到了展开式*：  然后将-1代入得到  然后欧拉就开始“随心所欲”：  即  ，就得到了  . 用数学分析里学到的收敛的定义，这样做肯定是错的，因为-1不在展开式*的收敛半径内。后来数学在黎曼等人的完善发展之下，黎曼重新考虑了欧拉的那个级数，给出了大名鼎鼎的黎曼  函数：  黎曼 函数考虑了复数的情形，并且证明了Re(s)>1的情况下是收敛的，而且全纯。 所以用现代的、严谨的语言来说应该是 2、正方形不能分为奇数个面积相等的三角形 这个结论叫做Monsky定理，这个结论的证明比较长就略了。总之我们将正方形分为偶数个等面积的三角形是相当容易的（小学生难度），但如果换成奇数个，难度就会一下跃高十万八千里，有兴趣可以搜维基。 3、阶乘函数的解析延拓  众所周知阶乘函数通常被定义为 4、流传大街小巷的数列 0、1、1、2、3、5、8、13、21、...... 很多人都听说过这个斐波那契数列，它长的那么规律自然，秩序井然，它的通项公式为  其中 ，是黄金分割率！！！ 即便通项公式出现了很多根式和除法，但最终结果却是一个正整数！相当漂亮！ 5、素数计数公式 其中 是莫比乌斯函数，它依据n的素数分解而取值。 是黎曼 函数的任意非平凡零点。 给你一堆连续正整数，也许你能找到很多素数，也许你一个也找不到，这好像是随机不可捉摸的，因为你不知道这堆正整数有多少个素数。然而，上面的式子就这样华丽的解决了这个问题：它可以求出不大于x的素数个数。让人非常讶异的是，这个公式的结果始终为正整数！就是因为有了这个公式才使人们相信素数的分布一定存在某种规律，然而具体是什么几百年过去依旧是谜一样的存在。 6、大数定律 这是一个关于概率的结论，听起来相当神奇，反正我第一次听到这个结论就吃了一惊。这个定律形象的来说是这样的，买彩票中奖的概率很低吧，但是只要你有足够坚持，坚持买彩票不停歇（假设寿命无限）那么你一定可以中大奖，一！定！！我保证！！ 第一次提出大数定律的是伯努利，后来经过很多大神的研究（比如切比雪夫、马尔科夫等等）大数定律有很大的发展，从概率论的教程也知道现在有各种各样的大数定律无不百花齐放的盛状。 |
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但是这里的阶乘对分数或小数也有效，甚至负数、复数等等。
