  22、商品利润问题 【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。 【数量关系】利润＝售价－进货价 利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率） 亏损＝进货价－售价 亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100% 【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？ 解 设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了1%。 例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？ 解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为52÷80%÷（1＋30%）＝50（元） 可以看出该店是盈利的，盈利率为（52－50）÷50＝4% 答：该店是盈利的，盈利率是4%。 例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？ 解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即 0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元） 剩下的作业本每册盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元） 又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80% 答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。 例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。 解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为1－10%＝0.9 甲店定价为0.9×（1＋30%）＝1.17 乙店定价为1×（1＋20%）＝1.20 由此可得乙店进货价为6÷（1.20－1.17）＝200（元） 乙店定价为200×1.2＝240（元） 答：乙店的定价是240元。 23、存款利率问题 【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。 【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］ 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。 解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元， 所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率， 所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月） 答：李大强的存款期是30月即两年半。 例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？ 解 甲的总利息 ［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3 ＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元） 乙的总利息10000×9%×5＝4500（元） 4500－4461.47＝38.53（元） 答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。 24、溶液浓度问题 【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。 【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100% 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？ 解 （1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克） （2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克） 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。 例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600×（30%－25%）＝30（克） 这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克） 由此可知，需要15%的溶液200克。 需要30%的溶液600－200＝400（克） 答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。 例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。 解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。 下面列表推算： 由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500＝4.8% 25、构图布数问题 【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。 【数量关系】根据不同题目的要求而定。 【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。 例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。 解 符合题目要求的图形应是一个五角星。 4×5÷2＝10 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。 例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。 解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形， 一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。 例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。 解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。4×3－3＝9 例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。 解 共有五种写法，即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋7 12＝2＋4＋612＝3＋4＋5 在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。 26、幻方问题 【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。 【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和＝45÷3＝15 五级幻方的幻和＝325÷5＝65 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。 例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。 解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。 设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 即45＋3Χ＝60所以Χ＝5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。 例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中， 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。 解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为 （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和： 最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4 最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式。 首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。 最后确定其它方格中的数。如图。 27、抽屉原则问题 【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。 抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。 【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）说明理由，得出结论。 例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的？ 解 由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。 这说明至少有2个学生的生日是同一天的。 例2 据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？ 解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到 3645÷20＝182……5根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183 答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。 例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？ 解 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。 答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。 28、公约公倍问题 【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。 【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。 【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。 例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？ 解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60和56的最大公约数是4。 答：正方形的边长是4厘米。 例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？ 解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。 答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。 例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？ 解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。 所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵） 答：至少要植26棵树。 例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。 解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为 60×3＋1＝181（个） 答：棋子的总数是181个。 29、最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。 【数量关系】一般是求最大值或最小值。 【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。 例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？ 解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。 答：最少需要9分钟。 例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？ 解 我们采用尝试比较的方法来解答。 集中到1号场总费用为1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到2号场总费用为1×100×10＋1×400×30＝13000（元） 集中到3号场总费用为1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到4号场总费用为1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元） 集中到5号场总费用为1×100×40＋1×200×30＝10000（元） 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。 答：集中到5号煤场费用最少。 例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台， 若每台运费如表，问如何调运才使运费最省？ 解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京 往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调 往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为 500×4＋800×4＋400×6＝7600（元） 答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。 30、列方程问题 【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。 【数量关系】方程的等号两边数量相等。 【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 （1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。 （2）设：把应用题中的未知数设为Χ。 （3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。 （4）解；求出所列方程的解。 （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。 （6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。 例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？ 解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。 找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。 列方程：90－Χ＝2Χ－30 解 方程得Χ＝40从而知90－Χ＝50 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。 列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得Χ＝40从而得知2Χ－30＝50 答：甲班有50人，乙班有40人。 例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？ 解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程4Χ＋2（35－Χ）＝94解方程得Χ＝12则35－Χ＝23 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡， 则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 所以兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：鸡是23只，兔是12只。 例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？ 解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。940÷4－125＝110（袋） 第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。（940－125×4）÷4＝110（袋） 第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程940÷4－Χ＝125 解方程得Χ＝110 第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得 （125＋Χ）×4＝940解方程得Χ＝110 答：乙汽车每次运110袋。    |
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