发表于2011年《中学数学研究》第三期
型多元递推数列
通项公式的证明及其应用
魏立国
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
内容摘要：解决型递推数列通项公式的简捷方法。一、一道课本例题引发的思考二、例题引发的性质证明
三、性质应用举例。四、性质证明和应用后的反思。
随着新一轮课程改革的到来，各省市把矩阵的相关知识下移到中学，这无疑给中学师生增加了知识和力量。笔者在教授苏教版4-2，矩阵的简单应用一道例题时，特发奇想，找到了解决型递推数列通项公式的简捷方法。本文把我的感悟过程及其解决方法呈现予各位同仁，以期共同探讨。
一、一道课本例题引发的思考
例题：自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等，因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泠滥成灾。现假设两个相互影响的种群x、y，随时间段变化的数量分别为｛an｝，｛bn｝，有关系式，其数量变化趋势。本题选自苏教版4-2第77页，矩阵的简单应用例题。
教完本道例题后，笔者在思考，本题通过两个递推等式，利用特征值与特征向量可求an、bn，那么对于一道递推等式，an+1=pan+qan-1能否通过特征值与特征向量求解呢？如果想要像例题那样求解，在递推式中必有bn，且还需增加一个关于bn+1与an、bn的线性关系等式。
在an+1=pan+qan-1中，an-1位置就是例题中bn的位置，如果令bn=an-1，则bn+1=an，显然第二个等式浮出水面。即构造如下递推等式组
，∴。同样，对于，可根据三元递推等式组，令bn=an-1，cn=qn，构造三元递推等式组（n∈N），即。由此笔者得到如下的性质证明。
二、例题引发的性质证明
性质：如果数列｛an｝满足，且矩阵A=特征值为；两两互不相等，则an+1=（n∈N）
证明：由，可得如下递推等式组，，即令B=，特征多项式=
=
设对应的特征向量为
，
∴[]=
Bn-2[]=…..==
m1
∴an+1=，∴无论是否为0，an+1都可写成形式。
推论1：如果数列｛an｝，满足an+1=pan+qan-1（n≥2），A=，有两个不相等的特征值。则an+1=，证明：根据性质，令q=0，即得
推论2：如果数列｛an｝，满足，矩阵A=的特征值为，、1两两互不相等，则an+1=
证明：根据性质，令q=1即得
三、性质应用举例
例1：设数列｛xn｝满足，xn=3xn-1+4xn-2，且x1=2，x2=3，求xn
解：由A=，则，则=－1，
=4，∴，将x1=2，x2=3代入得==1∴xn=(-1)n-1+4n-1
例2：数列｛an｝满足an+1=an+2an-1+3，且a1=2，a2=3，求an
解：由A=，则==－－2，则
=－1，=2，∴an=t1(-1)n-1+t2×2n-1+t3，又a3=a2+2a1+3=10，
∴得方程组，解之得，
∴an=
例3：数列｛bn｝满足bn+1=2bn+3bn-1+3×2n，且b1=1，b2=2，求bn
解：
=，则=－1，
=3，∴bn=t1×(-1)n-1+t2×3n-1+t3×2n-1，
又b3=2b2+3b1+3×22=19，∴得方程组，解之得，
∴bn=
评注：例1、例2、例3都是一般中学生望而止步的多元递推数列。本文为何显得简单易行，正是因为性质的应用。
四、性质证明和应用后的反思
1、型递推数列的通项公式，在一些资料上偶尔也可见到它的公式，但都没有解释其所以然。这一问题一直困扰我多年，今天得以解决，多亏矩阵知识的下放，让我产生了灵感，找到了证明的支点。这一问题的解决，让我深切感受到，新课改的必要性。尤其在知识经济突飞猛进的今天，迫切需要我们的课程要跟上时代的步伐，充实社会所需的“新的血液”。
2、作为教师，要适应新课改形势的需要，无论是新增知识，还是新的教育理念，都要静下心来学习揣摩。领会其实质，付诸于行动。一句话，现代教师，只有不断地提高自己的专业素养和业务素养，才能担当起社会所赋予的责任。
3、作为教者，首先自己要有创新精神和创新能力，才能培养出会提出问题、发现问题、解决问题，具有创新精神和创新能力的高素质的学生。
发表于2011年《中学数学研究》第三期
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