本文发表在《数学通报》2014年第6期
发现一个圆锥曲线统一性质的心路历程
江苏省响水中学高数组魏立国邮编224600
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
【摘要】：目的：探求圆锥曲线一个统一性质。方法：圆锥曲线定义和圆锥曲线光学性质。结果：通过抛物线、椭圆、双曲线研究得出：过曲线外一点P作圆锥曲线两条切线（如双曲线只向同一支作），切圆锥曲线于A、B，若圆锥曲线焦点为F，则∠PFA=∠PFB。∠PFA=∠PFB。结论：过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线两条切线（如双曲线只向同一支作），切圆锥曲线于A、B，若圆锥曲线焦点为F，则∠PFA=∠PFB。
关键词:问题思考;结论证明；统一性质；性质反思。
Abstract:
Objective:Exploringaunifiednatureoftheconics.
Methods:Thedefinitionsofconicsandtheopticalpropertiesofconics.
Results:LetPisapointoutsideconics,throughresearchingthenaturesofparabola,ellipseandhyperbola,wehave∠PFA=∠PFBifstraightlinesPAandPBtangenttotheconicsatthepointsAandBrespectively(tohyperboliconlyforonebranch)whereFisthefocusofconic.
Conclusion:LetPisapointoutsideconics,wehave∠PFA=∠PFBifstraightlinesPAandPBtangenttotheconicsatthepointsAandBrespectively(tohyperboliconlyforonebranch)whereFisthefocusofconic.
Keywords:Thinkingabout;conclusionsprove;unifiednature;natureofreflection.
魏立国个人简介
魏立国，男，汉族，江苏响水人，1964年2月生，大学本科学历，中学高级教师，“盐城市劳动模范”。从教以来，先后有28篇论文在省级以上刊物上发表，其中有10篇论文在《数学通报》等国家级刊物上发表。主要研究方向是解题教学研究。
一、一个问题引发的思考
问题一：过抛物线外一点作抛物线两条切线，切抛物线于A、B，抛物线焦点为F。求证：∠AFP=∠PFB
这一问题源自一位学生的提问，这是一个解析几何问题，自然想到用解析几何的方法，我用了很长时间才找到一个很繁的方法。但是，总感觉到不是一个最佳的方法，又苦于找不到更好的，后来我就想，能否换个角度思考，从平面几何角度，去寻求角相等的证明。题设提供条件，一个是抛物线，另一个是切线。抛物线这一条件，自然想到利用定义，利用定义自然想到过B、A作准线垂线。切线这一条件，让我想到了平面镜，也自然想到了抛物线的光学性质，由抛物线光学性质，从F点发出光线FB，FA经PB、PA反射后，反射光线平行于x轴，显然过A、B垂直于准线的直线与过F经切线反射后光线共线。真是“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。”
如图，过作垂直准线于，过作垂直准线于，则，，由抛物线光学性质可知，关于对称点在上，关于对称点在上，则、分别是关于、的对称点，由对称性可知，
这一问题解完后，深切感受到抛物线的光学性质和它的定义在证明中起了关键作用，此时，我又想圆锥曲线有统一定义且都有相应的光学性质，那么是不是椭圆、双曲线也有类似的结论呢？
二、椭圆，双曲线相应结论的证明
问题二：为椭圆外一点，过作椭圆两条切线切于、、为椭圆的两焦点，求证：
欲证，设法把、放在两个全等三角形中，可是图中和并不全等，设法把∠1或∠3转移出去，根据问题一证明得到启发，要充分利用椭圆定义和它的光线性质。由，设法找到一条边长为的两三角形，根据椭圆光线性质，过作切线对称点，过作切线对称点，则、、和、A、共线，且，连、,则根据对称性，即。
问题三：为双曲线外一点，过作双曲线左支两切线切左支于、，、分别为双曲线左右焦点，求证：。
如图，过作切线、对称点、，连、、、，显然，又，由双曲线光学性质可知，、、和、、三点共线，又由双曲线定义得，，又，。
三、圆锥曲线一个统一性质
过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线两条切线（如双曲线只向同一支作），切圆锥曲线于A、B，若圆锥曲线焦点为F，则∠PFA=∠PFB
从上述三个问题的证明可以看出，证明的简捷，得益于圆锥曲线定义和圆锥曲线光学性质以及三角形全等的完美结合。
四、性质获得的反思
1、在解决某个数学问题时，如果感觉很困难，找不到思路，不要一条道走到黑，可以换个角度思考。例如：代数方法困难，看能否从几何角度思考，正面解决有困难，看能否从反面去思考。这样，往往会给我们解决问题带来一线生机。
2、不能就问题解决问题，要学会类比、归纳、猜想、证明，发现一类问题的普遍规律。
3、作为教者，在教学过程中要暴露自己的思维过程，贴近学生的最近思维发展区，寻求师生思维的共鸣。
4、培养创造型人才是素质教育的核心。作为教者，在教学过程中要引导学生学会类比、归纳、猜想、证明，去发现自然界中的普遍规律。
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