方程与不等式中字母参数的确定
江苏省响水中学魏立国邮编224600
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
字母参数取值范围的确定，在升学考试中，经久不衰。方程和不等式中字母参数取值的确定，往往又出现在压轴题上。这些问题由于纷繁复杂的背景设计，常常让大部分同学望题兴叹。本文试图通过暴露思维过程的案例分析，来介绍求字母参数取值范围的基本思想和方法。
一、指导思想
方程和不等式字母参数取值的确定，应站在函数的视角，通过数形结合、等价转化等思想方法，去解决相应的字母参数问题。
二、基本方法
1、方程或不等式中，只含一个字母参数。
（1）分离参数
分离参数必须保证一侧只含参数代数式，另一侧可确定值域或可作出图象的具体函数。
例1对已知时，是否存在恒成立.
分析：时，恒成立，即，对时，恒成立.分离参数①.
令.易得②③不可能.
例2已知，求使恒成立的的最小值.
分析：分离参数恒成立，即的最小值
（2）数形结合。
含参数方程或不等式，可化为一侧含参数且对应的函数应是最简洁的函数，另一侧对应的具体函数，可作图或值域可求.
例3含不等式恰有两个整数根，确定的取值.
分析：本题无论分离参数或移到一侧构造函数都很难入手，如果站在函数视角，通过数形结合，很容易解决.令作出草图.
如图显然两个整数根为1，2，则只须
（3）字母参数分类讨论，优先考虑一致单调性.
例4当，求函数
分析：恒成立.即，恒成立，即，同理，恒成立，所以立刻得到可分三种情况.
①，②
③易得
（4）不适合分离参数时，也可把含参数方程或不等式所有的项移到一侧，构造函数求值域.
例5已知，当时，恒成立，这样的是否存在，存在求出符合条件的，不存在说明理由.
分析：好多同学对分离参数情有独钟，拿到这一题就去分离参数，结果分离的对应的具体函数，很难作图或求出值域.其实本题就用普通方法，移到一侧构造函数寻求值域，很容易入手.（解略）
2、方程或不等式含有两个字母参数，常常把两个参数各移到一侧，构造易作且过定点的函数，通过数形结合来解决.
例6二次函数，若直线与函数在上图象恒有公共点，求最小值.
分析：，在有解，本着一侧只含一个参数且过定点的原则，令，，，，问题转化为：在上有交点，求的最小值.
如何对分类，从大的方向看，分。从具体图形看，令：，，.当时，看过作弧BC是否有切线，分界点是.从看，分界点.
当无须分类，所以可分四类.
①，当相切，
即有等根，等根，等根
②,所以即
③,,.④,,
综上所述，
三、综合问题案例分析
1、一致单调优先考虑，快捷寻找分类标准，数形结合巧解难题。
例7，
对任意，总存在唯一使成立，求取值范围。
分析：大部分同学，最棘手的问题，如何快捷寻找分类标准。
无论还是都是分段函数，其中都有一段单调递增，所以对另一段优先考虑何时一致单调。
（1），，恒成立，
即恒成立，，同理恒成立，
对找到①②③三种分类。
（2）对由于取值不同，当时可能不是分段函数，这一分界点是，当时，
当时，由于一致单调递增，只须研究时，何时一致单调，对称轴，时，即时一致单调，所以对有三种分类，①②③
（3）由（1）、（2）、作四种分类
①②③④
略解①只须，即
②只须，符合
③只须，不成立
④只须，不存在
2、巧过定点来作图，轻轻松松解难题。
例8二次函数，，函数在处取得极值。试判断是否存在，使得任意，不等式恒成立？如果存在，请求出符合条件所有值；不存在说明理由。
分析：对恒成立，当时，时，
恒成立。只须考虑在恒成立，即，恒成立，即，恒成立，
令
①显然即可，所以，所以
②显然成立
又因，所以
3、数缺形时少直观，形缺数时难入微。
画图不可随意，有时随手画图与理论不符。例两图从理论上三交点，，但好多同学随意画图，只有两个交点。但是代数运算推理又比较抽象，没有图形形象直观。所以应根据具体情况恰当使用。
本文好多地方都贯穿三个思想方法：1、一致单调优先原则；2、巧过定点构造含参函数；3、数形结合思想。值得同学好好去回味。字母参数的确定，可渗透到中学数学每一个角落，很难在一篇短文中一一说清。加之这些设计背景多姿多彩，变化无穷。本文仅对用函数作为载体，利用等价转化、数形结合等思想方法，解决一些常见的参数取值范围问题。
1
o
C
x
Y
O
D
A
B
A
B
C
x
D
O
Y
②
①
C
1
2
A
O
O
A
B
C
2
1
B
③
④
e
1
2
1
2
1
1
2
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