2.2圆锥曲线的参数方程（2）
一、教学内容分析
“圆锥曲线的参数方程”为本章节的最后部分.主要让学生掌握椭圆的参数方程，进一步理解参数方程的概念，加深对曲线与方程的理解，在此基础上对参数方程进行简单应用，并懂得参数法的基本运用.
二、教学目标设计
经历体验建立圆锥曲线的参数方程的过程，进一步理解参数方程的概念，经历用参数方程解决问题，在问题的解决过程中，形成数学抽象思维能力，体验参数的基本思想.
三、教学重点及难点
掌握椭圆的参数方程，形成参数思想并懂得参数法的基本运用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、引入
复习椭圆定义、标准方程，学生自己动手把椭圆标准方程
化成参数方程
[说明]通过学生自己动手，巩固参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化.
二、学习新课
1．椭圆的参数方程的概念
（1）椭圆的参数方程为.
（2）椭圆的参数方程的理解与认识.
①试求椭圆的一个参数方程.
②设椭圆上一点，点在第一象限，且与轴正方向所成角，求点的坐标.
解椭圆参数方程为，设点，由可得点坐标为.
[说明]（1）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试参数法；
（2）本题容易出错：认为，直接代入椭圆参数方程得.要注意参数与的关系.
2．曲线的参数方程的应用
分析讲解课本例3、例4.
3．例题分析
（1）课本例3：通过椭圆的参数方程求得最值，使学生体验参数方程的作用与意义，逐步形成参数思想.
（2）课本例4：通过椭圆的参数方程求解，解答简便，体现了运用参数方程解题的优越性.
三、巩固练习
课本练习2.2（2）中的第2、3题.
四、课堂小结
（1）椭圆的参数方程的定义，完善对椭圆的认识；
（2）参数方程的基本运用；
（3）增强利用参数思想解决问题的意识和能力.
五、作业布置
数学练习部分第9页，习题2.2，第4题.
一、引入
1.如图，以原点为圆心，分别以，（）为半径作两个同心圆、.设为圆上的任意一点，作直线，过点
作的切线与轴交于，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点、分别作轴、轴的垂线、交于点.设轴为始边，为终边的角为θ点，点的坐标为（），求点的轨迹方程.
【分析】点的横坐标与点的横坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同.而、的坐标可以通过引进参数建立联系.
【解析】由已知，，则，，
因为
所以,
因为，所以，
即，，
由三角函数的定义得，，，所以点的轨迹方程为
（θ为参数）（，且）.化为普通方程是.
2.双曲线的参数方程为：（θ为参数）（，且）.
3.双曲线的参数方程：（θ为参数）（，且）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
4.双曲线上任意点的坐标可设为.
二、典型例题
【例1】求点到双曲线最小距离.
【解析】设双曲线上的点的坐标为，则
，
令，整理得，
所以，所以，
解得，所以.
所以点到双曲线最小距离是.
动动手：已知在双曲线上，求到点的距离的最小值.
【解析】设的坐标为，则
当时，有最小值为.
【例2】已知等轴双曲线上任意一点，求证:点到两渐近线的距离之积为常数.
【证明】设点，
因为双曲线的渐近线方程为，
则到的距离为，
到的距离为，
所以
.
所以点到两渐近线的距离之积为常数.
三、总结提升：
教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为，在使用过程中，要知道恒等式.
四、反馈练习：
1.双曲线的离心率是（C）
A．．．．（为参数）表示的曲线是（B）
A.双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线下支 D.圆
3.把方程化为以参数的参数方程是（）
A．B．C．D．
（α为参数）与曲线（β为参数）的离心率分别为和，则的最小值为(A)
A．．．．为等轴双曲线上的一点，、为两个焦点，证明
.
【证明】设，双曲线两个焦点的坐标是、，
所以，
，
所以，
而，
所以.
一、引入
抛物线的参数方程的推导过程：
如图：设为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为终边的角记为，当在内变化时，点在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的M点与对应.因此，可以取为参数探求抛物线的参数方程.
根据三角函数的定义得，，即，联立，得
（为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁，
设，，则（为参数），
当时，由参数方程得，正好为顶点，因此当时，上式为
的参数方程.
注意：参数的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
动动手：（1）选择适当的参数，建立抛物线的参数方程.
【解析】如图，，根据三角函数的定义得，，即，联立，得
（为参数）.
（2）可选择到准线的距离为参数，的参数方程是怎样的？
【解析】如图，，则，代入抛物线方程，得，所以，抛物线的参数方程为
（为参数）.
（二）典型例题：
【例1】、是抛物线上异于顶点的两动点，且，并与相交于，求点的轨迹方程.
【解析】方法一：设，，.
由，所以，
，………①
又，所以，
.
所以，……………②
又，且，，共线.
∴，即……③
由①，②代入③，得到，这就是所求点的轨迹方程.
方法二：设，，
因为，所以，，
直线的方程为：，即，
所以直线过定点
又，所以点的轨迹是以为直径的圆，则的轨迹方程为
.
动动手：已知是坐标原点，、是抛物线（为参数）上异于顶点的两动点，且，求的轨迹方程．
【解析】设，，由，得，
又中点由，结合，
得点的方程为:.
三、总结提升：
1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.
2.抛物线上任意一点可以设为.
3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标.
四、反馈练习：
1.若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（C）
A．B．C．D．
2.抛物线（为参数）的焦点坐标是（B）
A．B．C．D．
3.已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么（C）
A．B．C．D．
4.若曲线（为参数）上异于原点的不同的两点、所对应的参数分别是、，求所在直线的斜率.
【解析】由于、所对应的参数分别是、，，所以可设两点、坐标分别为，
所以，.
5.、是抛物线上异于顶点的两动点，且，点、在什么位置时，的面积最小？最小值是多少？
【解析】设，，
则，，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，即、关于轴对称时面积最小，最小面积为.
五、学后反思：
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9/9
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巩固与小结
引入
圆锥曲线的参数方程的理解与认识
曲线的参数方程的应用
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