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2.3曲线的极坐标方程
一、教学内容分析
“曲线的极坐标方程”是在学生掌握平面直角坐标系中曲线的方程基础上，在新的坐标系中研究曲线的方程，为本章的一个难点.主要让学生了解极坐标系的建立，通过探索几种常见的曲线的极坐标方程及极坐标与平面直角坐标系的相互转化，初步掌握用类比的思想在极坐标系下研究曲线方程的方法.
二、教学目标设计
经历体验建立曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的及应用过程，理解曲线的极坐标方程的意义，领会在不同坐标系研究曲线的方程及性质的方法，会用转化思想解决简单的问题，感悟事物之间相互转化、辩证统一的思想.
三、教学重点及难点
极坐标系的建立几种常见的曲线的极坐标方程.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、极坐标系的建立
1．类比平面直角坐标系建立极坐标系，给出极点、极轴、极径、极角等概念.
2．在极坐标系中，除了极点外,平面上的所有点所成的集合和实数对集合
具有一一对应关系，我们规定极点的极坐标为，一般认为.
[说明]要引导学生分析平面直角坐标系建立与建立极坐标系建立过程的异同点，以加深学生对极坐标系的理解.
二、极坐标系下曲线的方程
在极坐标系中，平面内的曲线可以用含有这两个变数的方程来表示，方程叫做这条曲线的极坐标方程.
例1求圆心是点C（a,0），半径是a的圆的极坐标方程.
解：由题设，知圆C经过极点O，设圆和极轴的另一个交点是M，则OM=2a，设是圆C上的任意一点，因为OM是圆的直径，所以为直角.
在Rt中，，即,
这就是圆C的极坐标方程.
[说明]可引导学生自己探讨圆心在不同位置时，半径是a的圆的极坐标方程.
例2求经过点且与极轴夹角为的直线的极坐标方程.
解：设是直线上位于M上方的任意一点，则
在中，由正弦定理，得
即（1）
当点P位于M下方或与M重合时，同样可以推得（1）
所以（1）就是直线的极坐标方程.
[说明]本例有一定的难度，要求在教师引导下进行推导，同时也说明在极坐标系下，曲线的方程形式是多样的.
例3设质点M为射线OA上的动点，已知M沿着方向作为匀速运动，同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转，求质点M运动的轨迹方程.
解：设动点到达的位置为
因为点M沿OA做匀速运动，所以
射线OA绕点O做等角速度旋转，得
将代入，得
其中为常数，设，则方程可写成
这个就是所求轨迹的极坐标方程.
[说明]通过本例说明建立极坐标系的必要性，在平面直角坐标系中很难解决的问题在极坐标系中很易解决.
三、极坐标系与平面直角坐标系的互化
1．极坐标系与平面直角坐标系的互化的条件：极点与坐标原点重合，轴的正半轴是极轴，取相同的长度单位.
2．极坐标系与平面直角坐标系的互化关系式：
3．应用：
例4（1）把点M的极坐标化成直角坐标;
（2）把点P的直角坐标（-1，）化成极坐标.
[说明]注意直角坐标化成极坐标表示方法是不唯一的.
例5化直角坐标方程为极坐标方程.
解：将代入，得
，即,
解得或;
由，得,
解得或,
因为表示极点，而或均表示过极点的射线，所以已包含在或中,因此所化的极坐标方程或.
例6化极坐标方程为直角坐标方程，并指出它是什么曲线.
解：当时,
由，得,
由此得即,
当时，满足的点是极点，即直角坐标系的原点（0，0），它也满足上述方程.所以是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆.
[说明]这两个例子说明在不同坐标中虽然同一曲方程形式上不一样，但本质上是统一的.
四、巩固练习
（1）课本练习2.3（1）
(2)课本练习2.3（2）
(3)课本练习2.3（3）
四、课堂小结
（1）极坐系建立及其意义
（2）极坐系中曲线的方程
（3）极坐标系与平面直角坐标系的互化
五、作业布置
数学练习部分第10页，习题2.3，第1、2、3、4、5、6、7题．
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巩固与小结
极坐标系建立
曲线极坐标方程定义
曲线的极坐标方程的推导
极坐标系与平面直角坐标系的互化
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