5.3随机变量和数学期望（1）
教学内容分析
本节的主要内容是随机变量及其概率分布律.随机变量是一个新的概念，它区别于通常所指的变量，是学生比较容易混淆的概念.而随机变量的概率分布律结合了之前概率的知识，又是后面学习数学期望的基础，起着承上启下的作用.
1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．
2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差
二、教学重点及难点
1.理解随机变量、随机变量分布的概念及其数字特征；
2.能写出一些简单随机变量的概率分布律.离散型随机变量的方差、标准差
三、教学流程设计
教学过程设计
复习引入
基本事件：随机实验的一个可能结果.
基本空间：基本事件的集合，也称样本空间，记作?.
例：掷一颗骰子的样本空间为，其中基本事件表示“掷一颗骰子出现点”.则可用基本空间上的函数，，来描述掷一颗骰子时出现的数值.
随机变量的概念
一般地，我们把定义在基本空间?上的函数叫做随机变量.
注：1.随机变量实质上是函数，区别于通常所说的变量；
2.随机变量将随机现象与数值联系在一起.通过随机变量，我们可以将随机事件转化为实数.
例1.在旋转一枚均匀硬币的实验中，用随机变量表示所有的基本事件及其概率.
分析：结果只有出现正面或反面，所以我们设定出现正面时对应数“1”，出现反面时对应数“0”.
解：设基本事件表示“出现图朝上”，对应；
表示“出现字朝上”，对应；.
概率
[说明]1.对于那些初看起来与数值无关的随机现象，通过人工设定也可以与数值联系起来.
2.通过随机变量，我们把随机事件转化为实数，这将给后面的表达和研究带来方便.
例2.一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球和2个红球.将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量表示随机摸得一个球的得分及其概率.
解：
随机事件 摸得白球 摸得绿球 摸得红球 的取值 1 2 4 概率 随机变量的分布律
一般地，取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率可用下表给出.
… … 一般地，随机变量所有的取值对应的概率所组成的数列叫做随机变量的概率分布律，简称随机变量的分布律.
注：如果设，是分布律，那么它满足
1.；
2..
巩固深化
练习：下表是否可作为离散型随机变量的分布律.
x 0 1 3
x 0 1 2
x 1 2 1 课本P73练习4.3(1)/1,2
例3.已知随机变量的分布律如下表所示：
x 0 求随机变量的概率分布律.
解：的取值为.
x 1 0 -1 练习1：已知随机变量的分布律如下表所示：
x 9 3 1 求的分布律.
练习2：已知随机变量的分布律如下表所示：
x 1 3 随机变量的分布律如下表所示：
x -1 1 -3 在空白处填入适当的数字.
回顾小结
随机变量；
随机变量的分布律.
课后作业略
六、教学设计说明
本节课的设计紧扣教材，通过复习之前基本事件和基本空间的概念，引出了这节课.这节课的第一个新的概念是随机变量，它区别于通常所说的变量，本质上是函数，这一点需要引起重视.通过随机变量的学习，可以将所考虑的随机事件转化为实数，这样便于之后的研究.而本节课的学习难点是之后的随机变量的概率分布律，它既涉及到之前概率部分的知识，又影响到之后数学期望的学习，需要学生很好的理解与掌握.所以在这一部分的教学中，设计了一个概念的辨析，目的在于使学生通过例子，理解概念的本质属性.随后又利用课本中的练习题，巩固概念.之后通过课本上的一个例题，进一步深化了概率分布律，并结合两个相关的变式练习，使学生更好的理解与掌握概率分布律的概念.
4.3随机变量和数学期望（2）
【教学过程】
一、复习
1.数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称……为ξ的数学期望，简称期望．
2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.期望的一个性质:
5.若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np
二、讲解新课：
问题探究：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下:
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 试比较两名射手的射击水平..
下面的分析对吗？
∵
∴甲、乙两射手的射击水平相同.
（你赞成吗？为什么？）
显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？
1.方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2.标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
注：方差与标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
即学即练：
1.(课本第66页例4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值，方差和标准差。
2.若随机变量x满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex和Dx.
答案：（1）3.5；2.92；1.71(2)c;0
3.刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
解:∵
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.
又∵0.4,0.8,
∴甲射击水平更稳定.
如果对手在8环左右,派甲.
如果对手在9环左右,派乙.
.方差的性质
（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)（4）若ξ服从两点分布，则p(1-p)
即学即练
已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___.E(2x-1)=____,D(2x-1)=____,s(2x-1)=_____
答案50；25；5；99；100；10
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 例题:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
即学即练
甲乙两人每天产量相同，它们的
次品个数分别为(((，其分布列为
( 0 1 2 3 ( 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 判断甲乙两人生产水平的高低？
答案：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.
归纳总结：
1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
4求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
5对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和
，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
课堂练习：已知，则的值分别是（）
A．；B．；C．；D．
答案：1.D
2.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
答案：2；1.98.
3.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
4.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已
1 2 3 p a 0.1 0.6 知和的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
1 2 3 p 0.3 b 0.3 试分析甲、乙技术状况
答案：1.D2.2；1.98.
课后练习与提高
1．甲、乙两个运动员射击命中环数X、Y的分布列如下：
环数k 8 9 10 P(X=k) 0.3 0.2 0.5 P(Y=k) 0.2 0.4 0.4 其中射击比较稳定的运动员是（）
A．甲B.乙C.一样D.无法比较
2.设随机变量X~B（n，p），且EX=1.6，DX=1.28，则（）
A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45
3.AB两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1和DY2；
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX）
答案：1.B2.A3.(1)4,12(2)x=75时，f（x）=3
8/9
复习引入
随机变量的概念
随机变量的分布律
巩固与深化
回顾小结
|
|
