10.2数学与美术(1)
·前言
何为数学？数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。它透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理来。
何为美术？美术是指占据一定的空间并且具有可视形象以供欣赏的艺术。一般指除了建筑艺术之外的造型艺术的通称。“美术”这一名词始见于欧洲17世纪，也有人认为正式出现于18世纪中叶，也可以称为“造型艺术”。
1747年法国学者夏尔·巴托在《简化成一个单一原则的美的艺术》一书中，确立了“美的艺术”概念的权威性。巴托将音乐、诗歌、绘画、雕塑和舞蹈这五种艺术纳入了同一个体系，因为它们都是模仿的艺术。他认为，对自然的模仿，是所有艺术的共同原则。
而数学，从古希腊开始便是以探索自然的本质为己任的，所以数学与艺术（包括美术）自然有着十分密切的关系。
·数学与雕塑——空间之美
“我不是一个梦幻者，而是一个数学家，我的雕塑之所以好，就因为它是几何学的。”“在我看来，平面和体积是所有生命的法则与美的法则。”——罗丹
维、空间、重心、对称、几何对象和补集都是在雕塑家进行创作时起作用的数学概念。由此可见，空间在雕塑家的工作中起着显著的作用。
有些作品占有空间的方式简直和我们以及其他生物一模一样。在这些作品中，重心一般都是雕塑品内部的一点。这些雕塑品固定在地面上，它们占有空间的方式是我们感到舒服或习惯的。例如，米开朗琪罗的《大卫》、古希腊艺术家米隆的《掷铁饼者》和贝尼亚米诺·布法诺的《马背上的圣弗朗西斯》，它们的重心都在雕塑品内部。
超越传统的几何观念，在空间上有所突破的是一部分现代艺术雕塑，它们不按传统方式对待空间和它的三个维。这些作品把空间用作自身的组成部分，因此重心可以是空间中一点而不是作品中的一点，例如野口勇的《红立方》、查尔斯·佩里的《食》和路易斯·维兰考特的《维兰考特喷泉》。
除此之外，还有一些雕塑依靠它们与空间的相互作用来表现作品的中心思想。这些雕塑品周围的空间（即雕塑品的补集）与雕塑品一样重要，或地位同等，譬如卡尔·安德烈的《锌锌平原》。这座雕塑放在一个房间内，这房间里面没有任何其他雕塑或物件。作品中的平面由36个小正方形构成，它们合起来，又形成一个大正方形，平铺在地面上。房间代表空间，即所有点的集合，这件作品被他描述为“空间一角”。
另外，雕塑作为在空间中诞生的数学，有时能在视觉上让人产生错觉，有些作品看来甚至是对重力的否定。这些作品中包括亚历山大·考尔德的汽车雕塑，它们的平衡和对称是相当精巧的。还有野口勇的《红立方》，它在顶点处的平衡有些不可思议。
艺术家构想中的作品往往需要通过数学的计算与测量对其物理性质重新进行理性的理解和认识，才能成为现实中可能合理存在的作品。伦纳多·达·芬奇的大多数作品都是先经过数学分析然后进行创作的。他曾说过：“能够真正欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。那些不相信数学是极其精确的科学的人，是昏庸之辈，他们不可能澄清而只能日益加深诡辩中的矛盾。”如果M.C.埃舍尔没有从数学上对镶嵌图案思想和视错觉进行分析并了解它们的数学内容，他就不能自在地进行创作，作品也不能自在地完成。而欧几里得几何和拓扑学中的数学对象曾经在野口勇、戴维·史密斯、亨利·穆尔、索尔·勒威特等艺术家的雕塑中起过重要的作用。今天，凭借先进的科学技术，雕塑这种艺术形式也得以朝着更好更开放的方向发展。现在的雕塑家们依靠数学思想来扩充艺术的例子不胜枚举：托尼·罗宾利用对拟晶体几何、第四维几何和计算机科学的研究来发展和扩充他的艺术。罗纳德·戴尔·雷什在创作《复活节彩蛋》巨型雕塑时，不得不用直观、独创性、数学、计算机加上他的手来完成它。艺术家兼数学家的赫拉曼R.P.弗格森运用传统雕塑、计算机和数学方程创造出像《野球》和《带有十字形帽和向量场的克莱茵瓶》这样的神奇作品。因此，数学模型可以自然是可以兼用作艺术模型的。在这些模型中，有立方体、多立方体、球形、环面、三叶形纽结、麦比乌斯带、多面体、半球、纽结、正方形、圆、三角形、角锥体、角柱体等等。
·黄金分割与美术——美学新高度
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。不过公认的真正发现者，是公元前4世纪古希腊的数学家欧多克索斯，他第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓的黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21...的后二数之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21...的近似值。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著。
到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，该方法是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
黄金分割的神奇性质不仅仅体现在数学上，其在艺术上的应用更能体现它在现代生活中的价值所在。
黄金分割在造型艺术中具有很高的美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的视觉美感，我们壮观巍峨的紫禁城的宫殿、走廊和广场的设计也运用了提升视觉美感的黄金分割理念。
另外，它在实际生活中的应用也非常广泛：建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，因为它被认为是建筑中最理想的比例。建筑师们对数字0.618有着特别的偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎艺术气息极其浓郁的圣母院，又或者是曾经被很多专家唾弃无视的法国埃菲尔铁塔，都有很多与0.618有关的数据。舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏站在台上一侧——以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
其实，就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
黄金分割是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。人们发现，有一部分名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们则认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍。正如朱老师在课上所说，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。我们在很多艺术品以及大自然中都能找到它。希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，从一个比较好的视角观察这个建筑，它的长宽比使之成为阳光下最为美妙的结构。达·芬奇的很多作品都利用了这一原理，譬如他的《维特鲁威人》便符合黄金矩形，而《蒙娜丽莎》中神秘的蒙娜丽莎的脸也符合我们所描述的黄金矩形，极富宗教与神秘色彩的《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例之后，所画出的人体的身材最为优美。而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长其双腿的长度，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。现实中，有许多姑娘都愿意穿上高跟鞋使自己的腿长更接近完美的比例，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖，营造身体与音乐完美融合的美感。而音乐家则发现，在二胡演奏中，当“千金”分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最为和谐、最为悦耳。
·数学与透视画法——几何的艺术升华
一切物象占有一定的空间，物与物之间也存在着一定的空间距离。如画者与写生物的空间距离，被画物体之间的空间距离，被画物本身前后的空间距离，被画主体与背景的空间距离......在素描中，利用物体的透视变化产生距离感，表现空间的技法，其中最基本的方法是透视原理的运用。
我们平日里接触的最多的是几何透视法。该透视法产成与数学原理，是把几何透视运用到绘画艺术表现之中，是科学与艺术相结合的技法。它主要借助于远大近小的透视现象表现物体的立体感。
透视画法是几何学与绘画技术的一种完美结合。这一画法的开创者是乔托，他是最早提出在构图上应该把视点放在一个静止不动的点上，并由此引出一条水平轴线和一条竖直轴线来。由此，乔托在绘画艺术中恢复了空间的观念，从而表现了“深度”这个在平面艺术中颇有难度的第三维度。
15世纪，西方画家们认识到，为了描述真实世界，必须从科学上对光学透视体系进行研究。比如，布鲁莱斯基（1377-1446）就在这方面做出了重要贡献。而第一个将透视画法系统化的则是阿尔贝蒂（1404-1472）。他在《论绘画》一书中指出，做一个合格的画家首先要精通几何学。而他的这本著作在诞生时候便席卷了全部的文化领域，不光是当时的绘画、建筑，还有艺术界的其他方面。阿尔贝蒂所推崇的单焦透视法，使这一构图原则取得了合法性的位置。
而对透视学做出最大贡献的则是达·芬奇，众所周知，他是著名的画家、雕塑家、建筑家和工程师。在看了《达·芬奇密码》这部悬疑电影之后，我对他的印象变得愈发神秘。当然，这些神秘也与他在数学、艺术和宗教方面的造诣有关。所以一提到数学与艺术，似乎每个方面都有这位伟人的身影。达·芬奇认为数学对于艺术是至关重要的，他强调艺术家首先应该了解并掌握这门学科，以便洞悉和谐的秘密，因为数学是建立在比例、尺度和数字的基础之上的。
在数学和透视学上颇有建树的还有因外一个人——德国画家丢勒（1471-1528）。
丢勒被称为一位“天生的几何学家”。他从意大利的艺术大师们那里学到了透视学原理，然后回到德国继续进行深入的研究。他认为，创作一幅画不应该全凭自己的灵感来信手涂鸦，而应该根据数学原理来进行构图。有趣的是，丢勒还喜欢数学游戏，他曾经与1514年构造了一个4X4的幻方，称此幻方为“忧郁图版”。
既然谈及了透视画法，不妨再来看看这种与几何息息相关的艺术手法在中国古代怎么样的发展吧。
在我国，透视画法在古代也曾经被研究、被运用。南朝的宋时期的山水画家宗炳就提到过“令张绡素以远映”的有趣思想，意为将远处的山水投影到透明的画布上，并阐述了近大远小的基本规律，这便是古代画家在研究艺术时对风景的空间视觉方面独到的探究了。而到了宋代，就有了关于透视画法的理论记载。画家郭熙在《林泉高致集》中详尽分析了透视画法的构图特点，从而推动了我国山水画的发展。
·总结
数学为美术增添了理性的光辉，美术为数学笼上了艺术的美感，二者可谓是相辅相成。现代美术中，不仅仅有人们手工创造的艺术作品。在这个电子计算机盛行的时代里，以分形几何学为理论基础的计算机图形学为艺术家的创作和想像提供了更广阔的空间。利用它创作出的作品是形态逼真、充满魅力的分形图形，如分形山脉、分形海岸线、分形云彩、分形湖泊、分形树林，这些作品所表现出来的精湛技艺，令人赞叹不已。
数学讲究的是逻辑性,它需要严谨踏实地追寻真相,从某种程度上来说也是枯燥的。同样的风景不同的人能画出不同的感觉，但是同样一道题只可能算出一种正确答案。
美术是需要灵感的，它无迹可寻，亦或者说，只是一个形式。
艺术说到底，就是反应人的内心状态，而这种内心的状态，其实是需要缜密的逻辑思维的，或许这就是为什么那么多艺术家选择用数学来诠释他们的作品。
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