一张图就能看懂的数学题（三）：算平方和立方和，从此不用记公式

上一期我们讲了整数求和，现在要进一步，讲平方和和立方和怎么算。

自然数列的立方和，前面有讲，就是分成块，拍扁了，再拼一起：

上面的图片只画到了3的立方，那么3以后呢：

无论画多少个，答案都是成立的。

算自然数列的平方和就要复杂一些。

之前我们学到过，奇数数列的和，正好等于一个平方数：

那么反过来，一个平方数，也能够写成一个奇数数列。

我们把从1到5的平方拆成奇数数列的和，用不同的颜色表示：

拆完后，红色方块有5组，黄色方块有4组，蓝色方块有3组，绿色方块有2组，橙色方块有1组。

同理，如果把从1到n的平方数拆开，长度为1的红色方块有n组，长度为3的黄色方块有n-1组，……，长度为2n-1的方块有1组。

下一步，我们把两个n的平方，和红色方块摆在一起，可以摆成一个长为2n+1，高为n的长方形：

再把两个n-1的平方，和黄色方块摆在一起，就是一个长为2n+1，高为n-1的长方形：

重复这个过程，最后是一个长为2n+1，高为1的长方形：

现在，我们有n个长为2n+1长方形，如果把它们摞在一起：

这个大长方形的横边长是2n+1，竖边长等于1+2+…+n。中间的彩色方块等于1到n的平方和，两边的白色方块又各等于1到n的平方和，所以整个长方形等于1到n的平方和的三倍：

这个方法，是由Martin Gardner和Dan Kalman各自独立发现的。

二位，请收下我的膝盖。

最后，给大家一道题目练下手：

像1，1，2，3，5，8，13，…这样，从第三项起每一项都等于前两项的和的数列，叫做斐波那契数列，那么斐波那契数列的平方和该怎么算？

要看上一期，点这里：《我来给你讲个数学家高斯的故事。。。呸，还是你自己看图吧》

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