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简介：我是北京的一名数学老师，会经常发表一些学习心得和数学技巧，几乎都是原创干货，关注后可在下方菜单查找。 用心做教学是我的准则，认真去钻研我的文章会有很大收获，欢迎喜欢探索的朋友关注。 我是李文龙，我爱数学，数学使我快乐 作为两个最基础的函数：一次函数和反比例函数，经常喜欢搞在一起出题，有时候看似很简单的却是很贱的……不信？往下瞧 如图所示：一次函数与反比例函数交于A和B，与坐标轴交于C和D，则结论一：AC=BD 王同学 就没别的了条件了吗？？？啊，还有。。我忘了说了，看下面。 word哥在刚才的图的基础上，如果过A和B分别向坐标轴引垂线，则结论二：EF∥AB 王同学
这怎么是条件？真感人……
其实这两个结论是相辅相成的，无论先证明哪个，都能推出另外一个结论。既然没给什么条件。比如解析式什么的。说明这两个结论对于任意一次函数和反比函数都成立（前提是两个函数要相交）这个考点是在 2015-2016北京市朝阳区初三上学期期末考试作为压轴题出现的，接下来我们将从不同的角度证明之我们先来看证明结论二，就是证明平行的这个。你需要知道日常证明平行的思路是什么？
答曰： 1，通过同位角，内错角，同旁内角相等来得到平行 2，先用对角线互相平分或对边相等来得到平行四边形，再得到对边平行 3，利用三边成比例证明相似，再得到A字或8字平行 4，两条线之间的距离处处相等，则两直线平行 5，在坐标系中，两条直线的斜率相等，可以得到平行 ↑↑↑重要笔记！！！！
那这道题我们从从哪个思路来切入？北京市通州区玉桥中学初三六班的李骞同学给出了如下的证明思路：既然是在坐标系中，那就可以证明两直线的斜率相等。因此我们需要知道关键点的坐标，可是什么条件都没给我们。我们只能设坐标了如下图所示：设这个反比例函数是y=k/xA和B的横坐标分别为x1，x2，则A和B的纵坐标分别为k/x1，k/x2，同时可得E（0，k/x1），F（x2，0）根据斜率等于纵坐标之差比横坐标之差可以得到
这样，AB和EF就平行了真的是好思路啊，简单粗暴，不需要辅助线
帅气的龙哥
解决完结论二，我们再来看结论一。下面分享的是北京市通州区潞河中学初三八班的崔皓同学给出的证明思路：想证明两条线段AC和BD相等，需要有等量关系，由于有两个垂直，因此想到反比例函数几何性质，如下图，很容易得到矩形AEON和矩形BFOM面积相等，注意到两个矩形有重叠的部分，同时减去，我们可以得到两个阴影的面积相等
既然面积相等，就是长X宽相等，这样就可以列出等式了如下图，设AE=a，AH=b，BF=c，BH=d则ab=cd
既然得到了一个线段的乘积式子，不难想到转化为比例式，即a/d=c/b，可以利用相似。于是我们需要寻找含有a，b，c，d的相似三角形，自然可以发现下图中，绿黄粉，三个三角形互相相似而我们要得到AC和BD的关系，那就设AC=m，BD=n，AB=g
根据绿黄三角形相似，得到a/d=m/g，根据黄粉三角形相似，得到c/b=n/g，然而我们刚才还得到了a/d=c/b，这样m/g=n/g，因此m=n，即AC=BD两位精英班的学霸果然身手了得的，其中所蕴含的道理很值得回味。
帅气的龙哥
接下来我们换一种证明方式:引入：首先我们看一个性质，如下图若AB∥CD，则△ACD和△BCD面积相等，毕竟同底等高； 反之，若面积相等也可以推出来两直线平行
然后我们回归到文章最初的题目我们注意到AE和BF是反比例函数向坐标轴作的垂线，因此我们还是考虑用反比例函数k的几何意义如下图，两个阴影的三角形△AEO和△BFO面积相等，如下图所示
注意到AE∥OF，根据之前的引入，可知道△AEO和△AEF面积相等，如下图所示
同理，BF∥OE，可以得到△BFO和△BFE的面积相等，如下图所示
这样等量代换一下，可以知道△AEF和△BFE的面积相等，如下图所示（需要自己脑补）
根据之前的引入，不难得到AB和EF是平行的。结论二证毕！由于图中平行较多，我们可以得到下图的平行四边形（两组对边分别平行）
这样EF=CB同理还有一个平行四边形如下图
这样EF=AD因此CB=AD，同时减去共同的AB可以得到AC=BD，结论一证毕我们可以看到，一个很简单的一次函数与反比例函数相交的问题可以蕴含这么多知识点，要仔细品味。
而众所周知，一次函数与反比例函数相交时，两个交点可以在同一象限，就是我们刚才研究的问题；两个交点也可以在不同象限，如下图所示，若刚才问题的条件不变，那么两个结论是否仍然成立呢？
结论当然是不变的了，同学们可以用上述方法自己证明一下（你会发现，其实证明过程一点都没变！） 今天就分享到这里，以上就是本期“玩转课堂“的全部内容，希望各位收获满满 |
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文/李文龙
