牛顿第二定律的整体运用

牛顿第二定律研究的对象可以是单个物体（质点），也可以是多个相互作用的物体组成的系统（质点系）。设系统内各物体的质量分别为m₁ 、 m₂、…… 、 m_n ， 系统所受到的合外力为F，牛顿第二定律应用于整体时的表达式为：

1． 若系统内各物体的加速度a 相同 ，则有F =（m₁ + m₂ +… + m_n）a

2． 若系统内各物体的加速度不相同，设分别为a₁ 、 a₂、…… 、a_n ，则有

F = m₁a₁ + m₂a₂ +… + m_na_n （矢量和）

若将各物体的加速度正交分解，则牛顿第二定律应用于整体的表达式为

F_x = m₁ a_1x… + m_na_nx + m₂a_2x +

F_y = m₁ a_1y… + m_na_ny + m₂a_2y +

在分析实际问题时要注意系统内各物体加速度的方向，与规定的正方向相同时加速度取正值，反之就取负值。以下通过具体实例分析牛顿第二定律的整体运用。

例1 质量为 m = 55 kg的人站在井下一质量为M = 15kg 的吊台上，利用如图1所示的装置用力拉绳，将吊台和自已以向上的加速度a = 0.2 m/s² 提升起来，不计绳质量和绳与定滑轮间的摩擦，g 取10 m/s²，求人对绳的拉力F 的大小。

解析 对人与吊台整体受力如图1所示，由于吊台与人的加速度相同，由牛顿第二定律有 

代入相关数据解得 F = 350 N 。

点拨 人与吊台间存在相互的作用力，但题目又不要求出此力。我们若单独以人或吊台为研究对象，那就都要考虑这个作用力；若以人和吊台组成的整体为研究对象，这个作用力即为整体的内力，应用牛顿第二定律时就可以不予考虑。

 

例2 如图2所示，水平地面上有一倾角为θ质量为M斜面体，斜面体上有一质量为m 的物块以加速度a 沿斜面匀加速下滑，此过程中斜面体没有动，求地面对斜面体的支持力N与摩擦力f 的大小。

解析 将物块的加速度度a沿水平方向与竖直方向进行分解，对物块与斜面体整体在竖直方向上由牛顿第二定律 有 

在水平方向上由牛顿第二定律有   

则      ,   

点拨 本题中所要求的地面对斜面体的支持力N与摩擦力f分别在竖直方向上和水平方向上，由于斜面体没有加速度，而物块的加速度a是沿斜面方向的，故我们应将a沿水平方向与竖直方向进行分解。应用牛顿第二定律时要注意其矢量性。

 

例3 如图3所示，用细线将一质量为M的金属块与一质量为m的木块连接在一起浸入水中，开始时木块的上表面刚好与水面平齐，它们一起以加速度a 匀加速下沉，一段时间后细线断了，此时金属块向下运动的加速度大小为a₁，求此时木块的加速度a₂是多少？

解析 木块与金属块均受到重力与水的浮力作用，它们受到的重力与浮力的合力 F_合由牛顿第二定律有F_合 =（M +m）a ， 在细线断的前后，由于它们受到的重力与浮力均没有变化，故线断后整体受到的合力仍为F_合 =（M + m）a ，方向向下。由于线断后金属块的加速度a₁ 的方向向下，但木块的加速度a₂ 的方向向上。选取向下为正方向，对金属块与木块组成的整体由牛顿第二定律有：（M +m）a = M a₁ - m a₂   ，

 故   。

点拨 若将金属块与木块视为一个整体，线上的张力只是内力，对整体应用牛顿第二定律时可以不考虑。本题中线断只是线上的张力消失，但金属块与木块在线断前后受到的重力与浮力均没有变化，故在线断前后整体的合外力并没有发生变化。

 

例4 光滑的水平面上依次放有三个质量相等的带电小球A、B、C （如图4所示），将这三个小球从静止释放的瞬间，A球获得的加速度大小为3m/s² ，方向水平向左，C球获得的加速度大小为1m/s² ，方向水平向右，问此时B球获得的加速度是多少？

解析 设三个小球的质量均为m ，取水平向左为正方向，则在释放三个小球的瞬间，A球加速度a_A =? 3m/s² ，C球加速度a_C=? -1m/s² ，设此时B球的加速度为a_B ，对三球组成的整体，它们之间的相互作用力为内力，整体受到的外力为0 ，对三球组成的整体由牛顿第二定律得：0 = ma_A + ma_B + ma_C ， 代入数据解得 a_B = -2m/s²，这里负号表示a_B的方向水平向右。

点拨 这里A、B、C三球的加速度a_A、a_B、a_C 是在同一时刻（即三球静止释放的瞬间）的加速度。我们应用牛顿第二定律时要注意其瞬时性。

 

例5 如图5所示，轻杆的两端分别固定两个质量均为m 的小球A、B，轻杆可以绕距A端1/3杆长处的固定转轴O无摩擦地转动。若轻杆自水平状态静止开始自由绕O轴转到竖直状态时，求转轴O对杆的作用力。

解析 设杆长为L ，杆转到竖直状态时两球的速度大小分别为v_A、 v_B ，设此时转轴O对杆的作用力为F 。对A、B两球及轻杆组成的系统在此过程中机械能守恒有：          （1）

由于A、B两球在转动过程中任一时刻的角速度相等，其线速度大小与转动半径成正比，故有       （2）

杆在竖直状态时：

A球的向心加速度为     （3）

B球的向心加速度为     （4）

选取竖直向下为正方向，对A、B两球及轻杆组成的整体由牛顿第二定律得      （5）

由上几式解得  ，这里负号表示F方向竖直向上。

点拨 杆转到竖直状态时，两球与杆间的相互作用力应在竖直方向上，故此时两球无水平方向上的加速度。两球此时的向心加速度即分别为两球的合加速度。

可见，牛顿第二定律应用于整体时，只需要合理地选取整体为研究对象，分析系统受到的外力，而不需要分析系统内各物体间的内力，这样就可以避开系统内各物体相互作用的复杂细节，凸显出牛顿第二定律的整体性优势。