桥梁数理-1：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（1）

序言

对于土木工程师而言，其主要任务是：在充分了解材料特性的基础上，利用力学与数学手段，合理配置结构物中的材料布置，以使得结构物满足使用要求，具有足够的安全性，且材料的特性得到合理的发挥。从这个意义上说，土木工程是一门集合材料学，数学与力学的综合科学。从广义上说，力学是应用数学的一个分支。因此，在土木工程中，数学的重要性显而易见。 也正因为此，在土木工程的教学培养中，也强调数学课程学习的重要性。

然而，在强调数学重要性的同时，研究生们也反馈一个信息：数学课程枯燥无味且无用。这最终导致了一个令人困扰的悖论产生：由于数学知识的缺乏，研究生开展研究尤其是理论研究的能力差；而数学的教学体系，又让学生感觉到数学无用。

 

近日，在读到林加翘先生的《自然科学中确定下问题的应用数学》一书受到启发，如果模仿林先生的做法（别具一格的从自然科学（特别是物理学）中提炼出一些重要的数学问题。围绕着自然科学问题，来讲述相应的数学原理与技巧），围绕桥梁工程中的经典或常见科学问题来叙述相应的基础应用数学，似乎是一种解决之道。因此，本文不具备严密的数学逻辑，也无法覆盖很宽的数学范围，旨在于通过对于大家熟悉的桥梁工程专业经典问题的数学背景介绍，引发学生对数学的学习兴趣。当然，如果本文能够对大家研究中数学工具的选择有一定的提示或者帮助，那就更好了。

1 梁的弯曲问题

从力学的角度上看，桥梁的承重结构可分为基本的两类：梁与拱/索。——李乔说桥（1）

梁的弯曲问题是桥梁工程中最基本的问题之一。当荷载作用于梁上时，梁会发生弯曲变形。如图1-1所示，m₁，m₂为弯曲梁上的任意两点，两者的沿梁长方向距离为ds。当这两点非常接近时，沿其径向做直线将交于一点O，Om₁被定义为梁在该点的转动半径，其值为曲率半径。而所谓曲率，则定义为

                            (1-1)

图1-1 梁的弯曲图示

曲率κ是描述变形曲线的关键参数，通常被用来衡量梁体的弯曲程度。当梁上荷载很小时，梁的挠曲线接近直线。此时，曲率半径非常大，而对应的曲率则很小。随着荷载的增加，梁体的弯曲程度将会增大，此时曲率半径逐渐减小，而曲率则相应的增大。

由图1-1所示的几何关系中可以得到：

                       （1-2）

则

                         (1-3)

1.1 弯曲梁的截面分析

由于梁体具有一定的厚度，因此，如图1-2所示，沿梁体高度方向的纤维距离转动中心O点的距离是不相等的。即：各纤维的实际曲率半径不相同。由式（1-3）可以知道，在弯曲变形下，沿着梁体的高度方向，各个纤维的伸长量是不一样的。对于纯弯梁而言，在截面高度上，总是存在有一根纤维OO’，其长度既不伸长也不缩短，OO'被称为中性轴。显然，在弯曲作用下，以中性轴为界，靠近转动中心的纤维缩短，远离转动中心的纤维伸长，由此沿着截面的高度方向将产生拉压正应力。

图1-2 纯弯梁沿截面高度方向的弯曲变形

假设梁段发生弯曲变形前长度为l₀,其距离转动中心的距离为ρ。发生弯曲变形后，中性轴位置的纤维长度仍然为l₀,以中性轴为坐标基准，高度为y位置的纤维长度为l_1，与之具有相同的转角dθ，则根据式(1-2)可以得到:

                      （1-4）

则y位置的纤维应变为：

      （1-5）

对于线弹性材料而言，y位置的纤维应力为

                  （1-6）

对于纯弯构件而言，其轴向力为N=0，即

    （1-7）

由式（1-7），可以求得中性轴位置的控制方程：

                        (1-8)

同时，如果将截面上的所有纤维对中性轴取弯矩，则有：

  (1-9)

其中令,并定义为截面惯性矩，则(1-9)式可以改写为:

                                 (1-10)

将式(1-10)代入式（1-6），可以得到梁体截面上，在给定弯矩M作用下，任意位置的弯曲正应力

（1-11）

1.2 弯曲梁的控制微分方程

对于桥梁结构而言，如果梁体的变形足够的小，则式(1-3)中的弧长微段ds可以认为约等于dx，则式(1-3)可以改写为

                （1-12）

同样的，当小变形时，可以近似的认为

               （1-13）

将(1-13)代入（1-12）式，可以得到

                      （1-14）

将式(1-14)代入(1-10)，可以得到

              （1-15）

如果弯曲梁上的弯矩分布M(x)已知，则式（1-15）为弯曲梁的控制方程。

考虑到梁上弯矩M(x)，剪力V(x)与均布荷载q(x)的关系：

                    (1-16)

                  (1-17)

对方程(1-15)的左右两边，两次求导，式子(1-15)可化为

                 (1-18)

如果考虑到材料特性与截面特性的变化，例如（梁的开裂引起惯性矩I的改变，混凝土弹性模量的非线性效应），式(1-18)可以写成更一般的形式：

       (1-19)

微分方程（1-18）与（1-19）的未知数y为关于x的一元函数，因此被称为常微分方程。桥梁工程中的许多静力学问题， 直接或间接地都可以转换为微分方程(1-18)或(1-19)的求解问题。求解方法也多种多样，例如有直接解析求解，级数法求解或者数值求解等，接下来将分别介绍。