新课标I卷理数真题与真题答案、解析集

 

目录

第一部分：真题 

2012年全国统一考试理数测试3-8

2013年全国统一考试理数测试9-16

2014年全国统一考试理数测试17-22

2015年全国统一考试理数测试23-28

2016年全国统一考试理数测试29-33 

第二部分：真题参考答案、解析

2012年理数测试真题参考答案、解析34-45

2013年理数测试真题参考答案、解析46-57

  2014年理数测试真题参考答案、解析58-70

2015年理数测试真题参考答案、解析71-90

2016年理数测试真题参考答案、解析91-107

第三部分：真题评析

2016高考全国卷II理数试卷讲评108-109

近五年高考数学考点分析110-111

中高考数学为何会把应用题当成必考题112-114

  2016年高考全国卷1卷数学试题难度相比去年难不难评析115-118

 

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为

A.3   B.6   C.8   D.10

2.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

A.12种    B.10种    C.9种     D.8种

(3)下面是关于复数z=的四个命题

P1：=2        p2: =2i

P3:z的共轭复数为1+I        P4 ：z的虚部为-1

其中真命题为

A P2 ,P3   B  P1 ,P2    C P2，P4       D P3  P4

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(4)设F1，F2是椭圆E：  +=1 (a＞b＞0)的左、右焦点 ，P为直线x=上的一点，

△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为

A   B   C   D 

 

（5）已知{a_n}为等比数列， a₄+a₁=2  a₅a₆＝-8  则a₁+a₁₀ =

A.7   B.5  C-5  D.-7

(6)如果执行右边的程序图，输入正整数N（N≥2）和实数a_1.a_2,…a_n，输入A,B,

 

则

 (A)A+B为a₁a₂,…，a_n的和

（B）为a₁a_2.…，a_n的算式平均数

（C）A和B分别是a₁a₂,…a_n中最大的数和最小的数

（D）A和B分别是a₁a₂,…a_n中最小的数和最大的数

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6  (B)9  (C)12  (D)18

（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为

（A）（B）（C）4（D）8

(9)已知w＞0，函数在单调递减，则w的取值范围是

（A）（B）（C）（D）（0,2]

(10)已知函数，则y=f（x）的图像大致为

（11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为

（A）（B）（C）（D）

（12）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为

（A）1-ln2（B）（C）1+ln2（D）

                                  第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1,|2a-b|=，则|b|=____________.

（14）设x，y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为__________.

（15），某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,50²），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.

(16)数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，则{a_n}的前60项和为________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，。

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c。

（18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD。

（1）  证明：DC₁⊥BC；

（2）  求二面角A_1-BD-C₁的大小。

（20）（本小题满分12分）

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（1）  若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（2）  若A，B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C之有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+x².

（1）  求f（x）的解析式及单调区间；

（2）  若f（x）≥x²+ax+b，求（a+1）b的最大值。

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，D，E分别为△ＡＢＣ边ＡＢ，ＡＣ的中点，直线ＤＥ交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（Ⅰ）CD=BC；

（Ⅱ）△BCD △GBD。

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线C₁的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ_２的极坐标方程式＝２.正方形ＡＢＣＤ的顶点都在Ｃ_２上，且Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为。

（Ⅰ）求点Ａ，Ｂ，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C₁上任意一点，求的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）当a=-3时，求不等式(x) 3的解集；

（2）若f（x）≤的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

 

…… … …

 

第二部分  真题参考答案与解析

 

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 

注息事项:

    1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

    2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷

一．     选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合；,则中所含元素

的个数为（      ）

                                           

【解析】选

        ，，，共10个

（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（      ）

    种           种           种           种

【解析】选

        甲地由名教师和名学生：种

     （3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（      ）

               的共轭复数为   的虚部为

                              

【解析】选

       

        ，，的共轭复数为，的虚部为

 

 

（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，

     是底角为的等腰三角形，则的离心率为（       ）

                                     

【解析】选

     是底角为的等腰三角形

（5）已知为等比数列，，，则（       ）

                                                 

【解析】选

，或

[来源:GkStK.Com]

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和

实数，输出，则（       ）

为的和

为的算术平均数

和分别是中最大的数和最小的数

和分别是中最小的数和最大的数

【解析】选

 

[来源:GkStK.Com]

 

 

 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（    ）

                       

【解析】选

     该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为

     此几何体的体积为

 

 

 

 

（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于

两点，；则的实轴长为（      ）

                                        

【解析】选

设交的准线于

得：

（9）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（    ）

                                    

【解析】选

 不合题意 排除

 合题意 排除[来源:GkStK.Com]

另：，

     得：

（10） 已知函数；则的图像大致为（    ）

【解析】选

    

    得：或均有  排除

（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，

为球的直径，且；则此棱锥的体积为（    ）

                                    

【解析】选

     的外接圆的半径，点到面的距离

     为球的直径点到面的距离为

     此棱锥的体积为

    另：排除

（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ）

                         

【解析】选

        函数与函数互为反函数，图象关于对称

        函数上的点到直线的距离为

       设函数

       由图象关于对称得：最小值为

第Ⅱ卷

 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量夹角为 ，且；则

【解析】

(14) 设满足约束条件：；则的取值范围为        

【解析】的取值范围为     

        约束条件对应四边形边际及内的区域： 

则

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为        

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为        

    三个电子元件的使用寿命均服从正态分布

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率

   那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

（16）数列满足，则的前项和为      

【解析】的前项和为         

     可证明：

    

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

   （17）（本小题满分12分）

已知分别为三个内角的对边，

（1）求    （2）若，的面积为；求。

【解析】（1）由正弦定理得：

         

     （2）

         

          解得：（l fx lby）

 

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量

（单位：枝，）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

【解析】（1）当时，

            当时，

           得：

       （2）（i）可取，，

               

                的分布列为

         

         

       （ii）购进17枝时，当天的利润为

             得：应购进17枝

 

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，，

是棱的中点，

（1）证明：

（2）求二面角的大小。[来源:GkStK.Com]

【解析】（1）在中，

            得：

            同理：[来源:学7优5高0考g网k]

            得：面

    （2）面

      取的中点，过点作于点，连接

      ，面面面

       得：点与点重合

      且是二面角的平面角

      设，则，

     既二面角的大小为

（20）（本小题满分12分）

设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，

为半径的圆交于两点；

（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；

（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，

求坐标原点到距离的比值.

【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边

          点到准线的距离

           

          圆的方程为

    （2）由对称性设，则

      点关于点对称得：

     得：，直线

     切点

     直线

坐标原点到距离的比值为。（lfx lby）

 

（21）（本小题满分12分）

已知函数满足满足；

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值。

【解析】（1）

       令得：

      

       得：

 

       在上单调递增

      

       得：的解析式为

           且单调递增区间为，单调递减区间为

  （2）得

      ①当时，在上单调递增

       时，与矛盾

      ②当时，

        得：当时，

       

        令；则

        

        当时，

        当时，的最大值为

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，分别为边的中点，直线交

的外接圆于两点，若，证明：

（1）；

（2）

【解析】（1），

           

       （2）

           

 

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

    已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，

且依逆时针次序排列，点的极坐标为

（1）求点的直角坐标；

（2）设为上任意一点，求的取值范围。

【解析】（1）点的极坐标为

            点的直角坐标为

      （2）设；则

          

            （lfxlby）

 

（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲

    已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围。

【解析】（1）当时，

        或或

         或

      （2）原命题在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

 

… … … …

 

第三部分 真题评析

 

稳中求变 突出能力

——2016年高考新课标全国I卷数学试题分析

一、试卷解读

(1)试卷整体保持平稳

纵观全卷,选择题简洁平稳,填空题难度适中,解答题层次分明.可以看出，2016年新课标全国Ⅰ卷的结构保持了新课程高考数学试卷的一贯风格，在题型、题量、分值上与2015年相比保持不变，命题角度和试题难度上仍然呈现了“起点低、坡度缓、难度散”的特点。

(2)试卷注重覆盖，突出考查能力

试卷着重考查中学数学教材中的主干知识，准确把握高中数学的教学重点。试题覆盖了高中数学的核心知识，涉及了函数与导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何，概率与统计等主干知识。

(3)试卷稳中有变，立意创新

与2015年考卷相比，出题方式与命题角度基本稳定，仍重视知识交汇型试题的考查.比如第12题，将三角函数题作为了选择题的压轴题，考查考生对三角函数知识的掌握及灵活应用，很有新意。另外，试卷对于公式运用与运算能力的考查明显加强，比如第11题，考查两直线所成角的正弦值，第16题更是对学生的阅读理解能力、运算能力与实际应用的深度考查，以实际背景问题考查线性规划知识，体现了高考更加注重考查考生创新意识与应用意识。

总之，从今年的试卷情况来看，新课标卷将更贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,善于应用知识之间的内在联系进行融合构建试卷的主体结构,在新课程新增内容和传统内容的结合处寻找创新点,考查更加科学.

二、试题分析

(1)考点分布合理，稳中有变

与2015年全国新课标Ⅰ卷相比，考点上基本一致，最突出的变化是第12题，考查了三角函数，而不是导数的应用，体现高考避免对考生大数值运算的考查。其次是第17题，题目考查三角函数、解三角形的相关知识，体现了高考的多变性，而不是还像去年一样考查数列。

(2)题目考查合理，贴近生活实际

题目整体上考查合理，与去年的高考试题保持了高度一致，试题难度设计合理，由易到难，层次分明，符合考生的认知规律和学习特点。

试题的表述简洁、准确，情境交融，知能并重，符合数学规律，思维量和运算量比例恰当，体现了对考生的人文关怀。

近五年高考数学考点分析 

中高考数学为何会把应用题当成必考题 

随着数学新课程改革的深入，对学生的数学能力要求逐步提高，在近几年全国各地数学中高考中出现了多种多样的应用性问题。因此，在平常数学学习过程中应加强数学实践活动，加强解答应用性问题的技能和技巧，让我们数学学习更有“应用意识”，使我们对所学的知识与实际模型之间建立联系，提高解决问题的能力。

很多时候很多人对数学产生枯燥乏味、神秘难懂的印象的主要原因就是脱离实际生活。

我们应该清楚认识到数学源于生活，寓于生活，用于生活。很多时候我们的数学学习容易忽视了这一点。如在解决实际应用性数学问题过程中，特别是基础中下的学生，一般会出现以下三个方面问题：

1、对题意理解不透。

一部分学生对问题的实际情况理解错误，导致完成本题时的方向错误对时间进行分类讨论。

2、缺乏正确解题思路。

由于受到小学时一个式子的计算应用题的影响，学生缺乏分步解决问题的意识，造成得分率不高。

3、不会分析应用性问题。

对数学来自于生活、服务于生活认识还不够，明显生活经验不足。

典型例题：

新课改和数学课程标准都要求我们的数学教育要密切联系当前生活实际的问题，把数学问题生活化，让数学知识回到现实生活中，体现数学的价值。其实在我们的数学教材中设计了大量的教学素材，这些素材大多都是源于自然、社会与科学中的现象。

因此，如何把枯燥而脱离实际的数学变得有趣、生动、易于理解，让学生活学、活用就显得尤为重要。

生活本身就是一个巨大的数学课堂。如果能从某些生活现象中挖掘出数学因素，并充分利用，就能使学生化难为易地接受数学知识，进而使他们认识到生活中处处有数学的道理。在数学学习过程中，应用性问题是最容易把数学知识生活化的题目，此类题型贴近现实生活，题干较长，包含知识较多，数量关系分散隐蔽。如果一个人不能把数学知识与生活实际进行联系，数学学习就会感到茫然，解决问题无从下手，长此以往学生不但对应用性问题产生恐惧心理，也会“丧失”运用数学知识解决实际问题的能力。

在平常实际数学学习过程中，由于学生人生阅历的关系造成学生对外部世界的了解仅凭自己的感觉, 大脑中生活内容的储存量相当有限,尤其对生产、生活、科技及社会经贸活动的知识知之甚少, 缺少这些知识经验的第一体验,所以教师和学生在解决应用性问题时，一定药加强数学知识与实际生活联系。 数学知识源于生活，而最终服务于生活。事实上，世界上每一个空间或每一段时间里都有数与形的存在。挖掘素材，让生活数学化。如创设情境，渗透数学知识；体验生活，解决实际问题；探索数学规律；质疑问难，培养创新能力。引导学生，在生活中不仅要善于观察，还要勤于思索，大胆质疑，培养创新能力，在实践中让数学生活化。

2016年高考全国卷1卷数学试题难度相比去年难不难评析

　　一、试题总体特点

　　2016年高考新课标1理科数学试卷与近几年的高考试卷相比变化不大，试卷结构与往年保持不变，但在题目难度上比近三年略微降低。在题目设置上考查对于基础知识、基本技能的考查，符合考试说明的各项要求，又在一定程度上强化学生对知识点的联系，综合性比较强，也注重考查学生对实际生活的具体应用。

　　二、试卷特点

　　1、回归教材，注重基础

　　选择题，填空题考查了集合、复数、三角函数、概率、解析几何、向量、框架图、二项式定理，线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生平时训练中常见的类型。例如第四题，还是课本必修3上的习题的改编，包括填空题最后一题都是实际生活的应用结合数学知识点。

　　2、适当设置题目难度与区分度

　　与往年新课标相对比，今年的选填难度仍然设置在选择题和填空题的最后两题，尤其是以第12题和第16题为代表。但是对比往年难说，这2题难度明显降低很多，一个三角函数，一个是线性规划都是平常练的非常多的题目，很多学生可以处理。解答题考法都是特别常规，解三角形，概率，立体几何都可以在模拟试题中找到相似题，解析几何考查面积的最值也是常规题，导数题是试卷最难的一题，但我们以往给高三学生的建议是不要在这类型的题目花费过多的时间，影响整体的答题，同时也影响考试状态。

　　3、布局合理，考查全面，着重数学方法与数学思想

　　在选择填空中就有几个题可以用特殊值法处理，还有数形结合的应用，这也是全国卷的一大特色。高中数学六大版块：函数、三角函数、立体几何、概率统计、数列，解析几何分布平均。

　　4、试卷的新颖

　　在保持以往的基础上，也有一些改变。出现了第16题应用题，第12题也不是函数，改成三角函数。没有出现以往常考的逻辑用语。

　　三、试卷考点分布

　　四、学习建议

　　1、依“纲”靠“本”，注重基础。学生的考试试题，都注重对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。在学习中必须切实抓好基本概念及其性质、基本技能和基本思想方法，真正理解和掌握，并形成合理的网络结构。

　　2、加强数学思想方法（函数与方程、数形结合、分类讨论）的研究，特别是加强高中的重点分类讨论的数学思想方法的培养。不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识。

　　3、强化基础知识，学生在学习期间不是简单地背一些公式、定理，而要展开思维，弄清楚其背景和来源，真正理解所学知识，同时学习分析、解决问题的方法，真正做到以不变应万变。

　　4、学习反思，反思，再反思