数海拾贝

光子问答精选[27]利用导数证明级数不等式

2016年11月19日 weilew 数海拾贝

级数不等式的证明题是一种常见的问题，利用导数证明级数不等式更是一种典型问题，有好多学生，甚至老师对这类问题很畏惧，其实只要抓住这类问题的本质进行合理的处理，问题就可以迎刃而解了．要解决这类问题，通常需要分析通项，得到一个不等关系，然后累加即可得到要证明的式子．例如：要证明n∑k=1ak>f(n)，只要证明ak>f(k)?f(k?1)，再注意一下k=1时的式子即可．

---

例　已知函数f(x)=x?lnx?a，g(x)=x+1x?(lnx)a+1，a∈R．
（1）若f(x)?0在定义域内恒成立，求a的取值范围；
（2）当a取（1）中的最大值时，求函数g(x)的最小值；
（3）证明不等式n∑k=11√(2k+1)(2k+2)>ln2n+12n+1(n∈N?)．
——提问者：888888中山大学 2016-09-19 00:23

分析　本题的第一、第二问都是基础题，考查利用导数研究函数的最值问题，难点显然在第三问．事实上，前两问都是为第三问做准备的，下面来看一下具体的解析过程．

解　（解答者：df0817）
（1）由题意有a?x?lnx在(0,+∞)恒成立，令h(x)=x?lnx,则h′(x)=x?1x,h(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以h(x)?h(1)=1.于是a?1．

（2）由题意g(x)=x+1x?ln2x.求导g′(x)=x2?2xlnx?1x2.令F(x)=x2?2xlnx?1,则F'(x)=2(x-1-\ln x)\geqslant 0.所以F(x)在(0,+\infty)上单调递增，注意到F(1)=0,所以g(x)在(0,1)单调递减，在(1,+\infty)单调递增，所以g(x)\geqslant g(1)=2.即g(x)的最小值为2．

（3）级数不等式的通项为\dfrac 1{\sqrt{(2^k+1)(2^k+2)}}，分析通项\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac 1{\sqrt{(2^k+1)(2^k+2)}}}>\ln \dfrac{2^{n+1}}{2^n+1}(n\in \mathcal N^*)只需证明\dfrac 1{\sqrt{(2^n+1)(2^n+2)}}> \ln \dfrac{2^{n+1}}{2^n+1}-\ln \dfrac{2^{n}}{2^{n-1}+1}.即\dfrac 1{\sqrt{(2^n+1)(2^n+2)}}> \ln \dfrac{2^{n}+2}{2^n+1}.\cdots\cdots(\rm i)这个式子的证明可以借助第二问中的结论，由（2）可得x+\dfrac 1x-\ln^2x\geqslant 2.即x+\dfrac 1x-2\geqslant \ln^2x.\cdots \cdots(\rm{ii})分析(i)(ii)两式可设\dfrac{2^{n}+2}{2^n+1}=x,x\in \left(1,\dfrac 43\right]则x+\dfrac 1x-2=\dfrac 1{(2^n+1)(2^n+2)}.于是(i)式成立，所以得证．

注　解决本题时，分析通项是关键．在解题时，可以把已知的函数不等式和要证的通项进行对照，必要时可以通过合理的变形，把它们联系起来．

练习
1．已知函数f(x)=\ln x+x^2-ax．
（1）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（2）设a_n=1+\dfrac 1n(n\in \mathcal N^*)，求证：3(a_1+a_2+\cdots+a_n)-a_1^2-a_2^2-\cdots-a_n^2<>
——提问者：weilew 2016-09-19 09:42

2．已知函数f\left(x\right)=\ln\left(x+\dfrac 1x\right)，且f\left(x\right)在x=\dfrac 12处的切线方程为y=g\left(x\right)．
（1）求y=g\left(x\right) 的解析式；
（2）证明：当x>0时，恒有f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right)；
（3）证明：若a_i>0，且\sum\limits_{i=1}^n{a_i}=1，则\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right) \left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)\cdots \left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)\geqslant \left(\dfrac {n^2+1}{n}\right)^n \left(1\leqslant i\leqslant n,i,n\in \mathcal N^*\right).
——提问者：Imagine 2016-09-04 11:30

3．求证：当n\geqslant2且n\in\mathcal N^+ 时，\dfrac{1}{\ln 2}+\dfrac{1}{\ln 3}+\cdots+\dfrac{1}{\ln n}>\dfrac{3n^2-n-2}{2n^2+2n}.
——提问者：湫兮如风凄兮如雨 2016-09-15 09:04

答案
1．（1）a\leqslant 2\sqrt 2；（2）略
2．（1）y=-\dfrac 65x+\dfrac 35+\ln \dfrac 52；（2）（3）略
3．略 

备注：若要查阅详细的解答过程，请在光子问答APP中搜索用户名，查看用户提问的问题，找到对应时间所发的题即可．

相关文章

1. 一道函数不等式

关于数海拾贝

“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。

觉得有意思？微信扫描二维码，关注我们吧！