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| 第八章第4讲 |
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交汇创新——与圆有关的交汇问题D本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系第八章平面解析几何方法位置关系几何法代数法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相离d________rΔ________0<>＝＝><方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离__________________外切__________一组实数解相交________________两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)______________内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)________d>r1＋r2无解d＝r1＋r2|r1－r2|
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B)，
圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)，
d为圆心(a)到直线l的距离联立直线和圆的方程消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设圆O：(x－a1)＋(y－b)2＝r(r)，
圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r)．
1．辨明两个易误点
(1)对于圆的切线问题尤其是圆外一点引圆的切线易忽视切线斜率k不存在的情形．
(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外
2．求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r弦心距为d弦长为l则＝r－d
(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x)，B(x2，y2)，
则|AB|＝－x
＝
1．(必修2习题4.2组改编)直线l：x＋－4＝0与圆C：x＋y＝4的位置关系是()
相交不过圆心
相切相离
解析：圆心坐标为(0)，圆心到直线l的距离d＝＝2＝r所以直线l与圆C故选
2．若直线x－y＝2被圆(x－a)＋y＝4所截得的弦长为，则实数a的值为()
－1或或3
－2或6或4
解析：圆心(a)到直线x－y＝2的距离d＝则＋＝2所以a＝0或4故选
3．圆Q：x＋y－4x＝0在点P(1)处的切线方程为()
＋－2＝0＋－4＝0
－＋4＝0－＋2＝0
解析：因点P在圆上且圆心Q的坐标为(2)，
所以k＝＝－所以切线斜率k＝所以切线方程为y－＝(x－1)即x－＋2＝0.
解析：圆C1的圆心是原点(0)，半径r＝1圆C：(x－3)＋(y－4)＝25－m圆心C(3，4)，半径r＝由两圆外切得|C＝r＋r＝1＋＝5所以m＝9.
解析：由得x－y＋2＝0.又圆x＋y＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝由勾股定理得弦长的一半为＝所以所求弦长为2
2
考点一直线与圆的位置关系
(1)已知点M(a)在圆O：x＋y＝1外则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
相切相交
相离不确定(2)(2016·大连模拟)圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是k∈________．
(－)
[解析(1)因为M(a)在圆O：x＋y＝1外所以a＋b＞1从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆的方程得(k2＋1)x＋4kx＋3＝0直线与圆没有公共点的充要条件是＝－12(k＋1)<0解得k∈(－)．法二：圆心(0)到直线y＝kx＋2的距离d＝直线与圆没有公共点的充要条件是d>1即解得k∈(－)．
若将本例(1)的条件改为“点M(a)在圆O：x＋y＝1上”则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？
解：由点M在圆上得a＋b＝1所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝1则直线与圆O相切．
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
1.(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x＋(y－1)＝5的位置关系是()
相交相切
相离不确定
(2)(2016·聊城模拟)圆(x－3)＋(y－3)＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()
C．3 D．4
解析：(1)法一：由消去y整理得(1＋m)x2－2m＋m－5＝0因为Δ＝16m＋20＞0所以直线l与圆相交．法二：由题意知圆心(0)到直线l的距离d＝＜1＜故直线l与圆相交．法三：直线l：mxy＋1－m＝0过定点(1)，因为点(1)在圆x＋(y－1)＝5的内部所以直线l与圆相交．
(2)因为圆心到直线的距离为＝2又因为圆的半径为3所以直线与圆相交由数形结合知圆上到直线的距离为1的点有3个．
考点二圆与圆的位置关系
k为何值时两圆C：x＋y＋4x－6y＋12＝0：x＋y－2x－14y＋k＝0相交和相切．
[解将两圆的一般方程化为标准方程得：(x＋2)＋(y－3)＝1：(x－1)＋(y－7)＝50－k则圆C的圆心为C(－2)，半径r＝1；圆C的圆心为C(1，7)，半径r＝＜50.从而|C＝＝5.当|－1|＜5＜＋1即4＜＜6即14＜k＜34时两圆相交．当1＋＝5即k＝34时两圆外切；当－1|＝5即k＝14时两圆内切．所以当k＝14或k＝34时两圆相切．
(1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系一般不用代数法．
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长在其中一圆中由弦心距d半弦长半径所在线段构成直角三角形利用勾股定理求解．
2.(1)圆C：x＋y＋2x＋2y－2＝0与圆C：x＋y－4x－2y＋4＝0的公切线有()
条条
条条
(2)(2016·郑州质检)若⊙O：x＋y＝5与⊙O：(x＋m)＋y＝20(m∈R)相交于A两点且两圆在点A处的切线互相垂直则线段AB的长度是________．
解析：(1)圆C：(x＋1)＋(y＋1)＝4所以圆心C(－1－1)半径长r＝2；圆C：(x－2)2＋(y－1)＝1所以圆心C(2，1)，半径长r＝1.所以d＝＝＋r＝3所以d＞r＋r所以两圆外离所以两圆有4条公切线．(2)由两圆在点A处的切线互相垂直可知两切线分别过另一圆的圆心即AO在直角三角形AO中(2)2＋()＝m所以m＝±5＝2×＝4.
考点三与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)
与圆有关的切线及弦长问题是近年来高考的一个热点多以选择题、填空题的形式呈现试题难度不大多为中、低档题目．
高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求圆的切线方程；
(2)求弦长；
(3)与切线长有关的问题；
(4)由弦长及切线问题求参数．
(1)(2015·高考重庆卷)若点P(1)在以坐标原点为圆心的圆上则该圆在点P处的切线方程为________．
(2)(2015·高考湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x＋y＝r(r>0)相交于A两点且∠AOB＝120(O为坐标原点)则＝________．
[解析(1)因为以原点O为圆心的圆过点(1，2)，
所以圆的方程为x＋y＝5.因为k＝2所以切线的斜率k＝－由点斜式可得y－2＝－(x－1)即x＋2y－5＝0.
(2)
如图过点O作OD⊥AB于点D则＝＝1.因为∠AOB＝120＝OB所以∠OBD＝30所以|OB|＝2|OD|＝2即r＝2.
解决直线与圆综合问题的常用结论
(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形：①圆心到l的距离小于半径过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
过圆内一点的所有弦中最短的是垂直于过这点的直径的那条弦最长的是过这点的直径．
3.(1)直线y＝kx＋3与圆(x－2)＋(y－3)＝4相交于M两点若|MN|≥2则k的取值范围是()
C．[－] D.
(2)(2016·云南省统一考试)已知圆O：x＋y＝1直线－2y＋5＝0上动点P过点P作圆O的一条切线切点为A则|PA|的最小值为________．
解析：
(1)如图设圆心C(2)到直线y＝kx＋3的距离为d若，则d＝r－－3＝1即解得－.
(2)过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0过P作圆O的切线PA连接OA易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式得|OP|＝＝又|OA|＝1所以|PA|＝＝2.
(2015·高考山东卷)一条光线从点(－2－3)射出经y轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切则反射光线所在直线的斜率为()
－或－－或－
－ D．－或－
[解析]由已知得点(－2－3)关于y轴的对称点为(2－3)由入射光线与反射光线的对称性知反射光线一定过点(2－3)．设反射光线所在直线的斜率为k则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切则有d＝＝1解得k＝－或k＝－故选
(1)本题是圆与物理知识的交汇圆还常与集合问题、线性规划、不等式、向量相交汇等．
(2)解决此类创新问题时一定要读懂题目的本质含义紧扣题目所给条件结合题目要求进行恰当转化将问题转化为熟知的问题解决．
1.(2015·高考山东卷)过点P(1)作圆x＋y＝1的两条切线切点分别为A则＝________
解析：如图所示可知OA⊥AP＝＝2又OA＝OB＝1可以求得AP＝BP＝＝60故＝×cos60°＝
2．设mR，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)＋(y－1)＝1相切则m＋n的取值范围是________．
(－∞－2]∪[2＋2＋∞)
解析：圆心(1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为＝1所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)所以m＋n≥2＋2或m＋n2－2.
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