本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用第9讲函数与方程第二章基本初等函数、导数及其应用f(x)＝02．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点______，_____(x1，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)CA(2，3)①②③考点一函数零点所在区间的确定CB考点二函数零点个数的问题DC0DC考点三函数零点的应用(高频考点)A(0，2)CC交汇创新——方程的根与函数极值点的交汇AC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)把使________成立的实数x叫做函y＝f(x)(x∈D)的零点．
1．辨明两个易误点
(1)函数f(x)的零点是一个实数是方程f(x)＝0的根也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件而不是必要条件．
2．会用判断函数零点个数的三种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0如果能求出解则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a]上是连续不断的曲线且f(af(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象看其交点的个数其中交点的横坐标有几个不同的值就有几个不同的零点．
3．明确三个等价关系(三者相互转化)
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2那么函数(x)＝bx－ax的零点是()
C．0，－－
解析：因为2a＋b＝0所以g(x)＝－2ax－ax＝－ax(2x＋1)．所以零点为0和－
2．(必修1P92习题3.1A组T1改编)下列函数图象与x轴均有交点其中不能用零点存在性定理判定图中函数零点的是()
3．已知函数y＝f(x)在区间(2)上连续验证f(2)·f(4)<0取区间(2)的中点x＝＝3计算得f(2)·f(x)<0，则此时零点所在的区间为________．
4．(必修1复习参考题A组T1改编)若函数f(x)唯一的零点在区间(1)或(1)或(1)内则
函数f(x)的零点在(1)或(2)内；
函数f(x)在(3)内无零点；
函数f(x)在(2)内有零点；
函数f(x)在(2)内不一定有零点；
函数f(x)的零点必在(1)内．
以上说法错误的是________(填序号)．
(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝－在下列区间中包含f(x)零点的区间是()
(0，1)(1，2)
．(2)(4，＋∞)
[解析由题意知函数f(x)在(0＋∞)上为减函数又(1)＝6－0＝6>0(2)＝3－1＝2>0(4)＝－＝－2＝－由零点存在性定理可知函数(x)在区间(2)上必存在零点．
判断函数零点所在区间的方法
(1)当能直接求
(2)当不能直接求出时可根据零点存在性定理判断；
(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
1.函数f(x)＝2＋3x的零点所在的一个区间是()
(－2－1)(－1)
C．(0) D．(1，2)
解析：易知f(x)为增函数．因为f(－1)·f(0)＝－＜0所以函数f(x)的零点所在区间为(－1)．
(1)(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x≥0时(x)＝x－3x则函数g(x)＝(x)－x＋3的零点的集合为()
－3－1}
C．{2－－2－
(2)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)且在x∈[0]时(x)＝x则关于x的方程f(x)＝在上的根的个数是()
1 B．2
C．3 D．4
[解析(1)令x＜0则－x＞0所以f(－x)＝(－x)＋3x＝x＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数所以(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时(x)＝－x－3x.所以当x≥0时(x)＝x－4x＋3.令g(x)＝0即x－4x＋3＝0解得x＝1或x＝3.当x＜0时(x)＝－x－4x＋3.令g(x)＝0即x＋4x－3＝0解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－所以函数g(x)有三个零点故其集合为－2，1，3}．
(2)因为f(x)为偶函数所以当x∈[－1]时－x∈[0]，
所以f(－x)＝x即f(x)＝x又f(x－1)＝f(x＋1)所以f(x＋2)＝f(x)
故f(x)是以2为周期的周期函数据此在同一坐标系中作出函数y＝(x)与y＝在上的图象如图所示数形结合得两图象有3个交点故方程f(x)＝在上有三个根．故选
若将本例(2)中“变为“则方程f(x)＝在[－3]上所有根的和为________．
解析：由本例(2)解析知f(x)＝在[－3]上有六个不同根不妨设为x由图象关于y轴的对称性知x＋x＝0＋x＝0＋x＝0所以x＋x＋x＋x＋x＋x＝0.
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点；
(2)零点存在性定理；
(3)利用图象交点的个数．
[注意]若已知f(x)有几个零点则用
2.(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()
，0 B．－2
C. D．0
(2)(2016·天津河东一模)函数f(x)＝|x－2|－在定义域内的零点的个数为()
C．2 D．3
解析：(1)当x≤1时由f(x)＝2－1＝0解得x＝0；当x＞1时由f(x)＝1＋＝0解得x＝又因为x＞1所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.(2)由题意可知f(x)的定义域为(0＋∞)在同一直角坐标系中画出函数y＝－2|(x>0)＝(x>0)的图象如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
高考对函数
(1)已知函数的零点或方程的根求参数值或范围；
(2)利用函数零点比较大小．
(1)(2016·郑州质检)设函数f(x)＝＋2x－4(x)＝＋2x－5若实数a分别是f(x)(x)的零点则()
(a)<0
C．0
(2)(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2－2|－b有两个零点则实数b的取值范围是________．
[解析(1)依题意(0)＝－3<0(1)＝－2>0且函数f(x)是增函数因此函数f(x)的零点在区间(0)内即00函数g(x)的零点在区间(1)内即1f(1)>0.又函数g(x)在(0)内是增函数因此有g(a)<(1)<0，g(a)<0
(2)由f(x)＝|2－2|－b＝0得|2－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2－2|与y＝b的图象如图所示则当0
函数零点应用问题的常见类型及解题策略
(1)已知函数零点求参数
(2)已知函数零点的个数求参数常利用数形结合法．
(3)借助函数零点比较大小要比较f(a)与f(b)的大小通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．
3.(1)已知函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1)内则实数a的取值范围是()
(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
(2)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()
[0，1)
B．(－∞)
C．(－∞]∪(1，＋∞)
(－∞]∪(2，＋∞)
解析：(1)因为f(x)在(1)内单调递增依题意有(1)·f(2)<0，所以(－a)·(3－a)<0所以0
函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程(x)＋x＝m的根作出(x)＝的图象如图所示观察它与直线y＝m的交点得知当m≤0或m>1时有交点即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
若函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有极值点x且(x1)＝x则关于x的方程(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()
C．5 D．6
[解析]因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b函数f(x)的两个极值点为x所以f′(x)＝0(x2)＝0所以x是方程3x＋2ax＋b＝0的两根．所以解关于x的方程(f(x))2＋2af(x)＋b＝0得f(x)＝x或f(x)＝x不妨设x由题f(x)在(－∞)，(x2，＋∞)上单调递增在(x)上单调递减．又f(x)＝x如图数形结合可知f(x)＝x有两个不同实根(x)＝x有一个实根所以不同实根的个数为3.
(1)解答本题的关键是把f(x)看作3z＋2az＋b＝0的根从而转化为求解f(x)＝z1与f(x)＝z的根的个数问题．
(2)本题把方程的根与函数的极值点交汇在一起考查体现了新课标命题的指导思想．
1.(2016·泰安一模)如图是函数f(x)＝x＋ax＋b的图象则函数g(x)＝＋f′(x)的零点所在的区间是()
B．(1，2)
C. D．(2，3)
解析：由题图得00所以函数g(x)＝＋f′(x)的零点所在的区间是故选
2．已知函数f(x)＝－bx＋c(b为常数)当x＝2时函数f(x)取得极值若函数f(x)只有三个零点则实数c的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝－bx2＋c所以f′(x)＝x－2bx当x＝2时(x)取得极值得b＝1.所以f′(x)＝x－2x＝x(x－2)则f(x)在(－∞)和(2＋∞)上单调递增在(0)上单调递减其大致图象如图所示．则解得0
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