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数的演化——真的、假的、虚的数|书摘

2016-12-04  霃楓



在上周的《数的起源——从计数到十进制》中,为大家介绍了数的演化,接下来,实数和虚数开始粉墨登场了……


 
人们需要的是数

当希腊文化被其他影响代替时,实用的传统就更加重要了。这一点可以从阿尔·花拉子米的另一本著名的书(“代数”一词就是从这本书的书名得来的)看出来。这本书实际上是许多不同类型的实用或半实用问题的概要。阿尔·花拉子米在书中开宗明义地宣布,我们不再是生活在希腊数学的世界里,“当我考虑人们在计算中需要的是什么时,我发现人们需要的是数”。

阿尔·花拉子米的书的第一部分是讨论二次方程,以及处理二次方程所需的代数计算(当然都是用文字来表述的,什么符号也没有用)。他的方法实际上就是现在还在使用的二次方程公式,当然其中就需要求平方根。但是,在每一个例子里,需要求平方根的数都是完全平方数,所以平方根很容易求——阿尔·花拉子米得到的确实是一个数!

然而,在这本书的其他地方,就可以看到阿尔·花拉子米已经开始把无理的平方根看成类似于数的实体。他教导读者怎样对含有平方根的符号进行操作,而且给出例如下面那样的例子:(20 -  )+ ( - 10) = 10(当然都是用文字来进行)。在书的处理几何和量度的第二部分,甚至可以看到对于平方根的近似:“乘积为一千八百七十五;取它的根,这是一个面积;它是四十三多一点。”

中世纪的伊斯兰数学家不仅受到以阿尔·花拉子米为代表的实用的传统的影响,也受到希腊传统的影响,特别是欧几里得的《几何原本》的影响。在他们的著作里,人们可以找到希腊的精确性和比较实用的量度方法的混合物。例如在奥马尔·哈亚姆(Omar Khayyam)的《代数》一书里,就既有希腊风格的定理,又有求数值解的愿望。对三次方程的讨论中,哈亚姆既努力用几何作图的方法来求解,又哀叹自己不能找到数值。

然而,“数”的领域已经在慢慢地扩大。希腊人可能还是坚持不是一个数,而只是一条线段的名称,即面积为10的正方形的一边,或者是一个比。在中世纪的数学家中,不论伊斯兰还是欧洲的数学家,的性态都越来越像一个数,它进入了运算,甚至出现在某些问题的解答里。

 
对所有的数都给以同等地位

把十进制系统推广到分数,这个思想是几位数学家互相独立地发现的,其中最有影响的要推斯特凡(Simon Stevin,1548-1620)。他是弗兰德斯的数学家和工程师。他在1585年出版的一本名为De Thiende(原书为弗莱芒语,后来译为英语,书名《十进算术》)的小书中,普及了这个推广了的十进制系统。他把十进制推广到十分位、百分位等等,就创立了现在仍在使用的十进制小数。更重要的是,他解释了这个系统如何用于简化涉及分数的计算,给出了许多实际应用。事实上,书的封面上就宣布此书是为了“占星学家、测绘人员和地毯的量度者之用”。

斯特凡肯定知道他的举动所引起的某些问题。例如他知道1/3的十进小数展开是无限的。他的讨论只是说,尽管完全的无限的展开是正确的,但是在实际应用时加以截断不会造成多大的影响。

斯特凡也知道他的系统给出了一个方法,对每一个长度都提供一个“数”(指十进小数展开式),他看不出1.176 470588 2与(前者是后者的小数展开式的前一部分)有什么区别,也看不出与1.414 213 562 3(后者是前者的小数展开式的前一部分)有什么区别。在《算术》一书(就是《十进算术》)中,他大胆地宣布,所有的(正)数都是平方数、立方数、四次方幂的数等等,所以都能开方,而且开方以后所有的根也都是数。他还说:“没有什么荒唐的数、没有道理的数、不正规的数、无法研究的数,或者无法听闻的数。这些称谓都是无理数的各种名称,而无理数就是非分数的数。

于是,斯特凡所提出的就是要把“量”或者“大小”的种种多样性都摆平,汇合成一个包罗所有的以十进制展开式来定义的数的概念。他知道,这些数可以用一条直线上的长度来表示,这就相当于现在相当清楚的称为正实数的概念。 

斯特凡的建议由于对数的发明产生了大得多的影响。对数和正弦、余弦一样,是实际计算的工具。为了应用这些工具,就需要制表,而表就需要用十进制小数来表示。很快,人人都使用起了十进制表示。但是,到晚得多的时候人们才了解,这个举动是多么大的跃进。正实数不仅是构成大一点的数系,而且构成了大得不可比拟的数系,它的内部的复杂性至今还没有被完全理解(见集合理论)。

 
真的,假的,虚的

当斯特凡在写作时,以后的步骤也在进行:在方程式理论的压力下,负数和复数都变得有用了。

斯特凡本人就已经意识到负数,虽然很明显,他并不喜欢负数。例如他是这样来解释 -3 是方程 + x - 6 = 0 的根的,他说,这就是指的3是相关的方程 - x - 6 = 0 的根,后一个方程是在前一个方程中用 -x 代替 x 而得到的。

这自然是一个简单的逃遁之道,但是三次方程式就产生了更困难的问题。由于16世纪好几位意大利数学家的工作,得出了一个求解三次方程式的方法。关键的一步里包含了求一个平方根。问题在于需要求其平方根的数,有时是负数。

在那以前,如果一个代数问题导致求某个负数的平方根,则这个问题总是无解的。但是方程式   = 15x + 4 确实是有解的—— x =4 就是一个解——而在对它应用三次方程式的公式时就需要算出

另一位意大利数学家和工程师庞贝里决定来啃这块硬骨头,看一看究竟发生了什么事。在他的1572年出版的《代数学》一书里,他硬着头皮往前闯,计算了这个“新的根式”,而且发现这样就可以找到三次方程式的解。这表明,三次方程式的公式这时仍然能用,更重要的是表明了这些奇怪的新数也可以是有用的。 

要使人们对这些新的量感到舒服需要一段时间。大约五十年后,我们发现,Albert Girard(1595–1632,生于法国死于荷兰的数学家)和笛卡儿都说,方程式可以有三类根:真的(意为正根)、假的(意为负根)和虚的。还不完全清楚,他们所理解的虚根是否就是现在的复数根;至少,笛卡儿有时说,一个n次方程式一定有n个根,那些既不“真”又不“假”的根一定是虚根。

然而,复数也慢慢地被人使用了,它出现在方程式的理论中,出现在关于负数的对数的辩论中,而且与三角函数有关。通过指数函数而与正弦和余弦函数的联系,复数在18世纪成了欧拉的有力工具。到18世纪中叶,人们都知道了,每一个多项式都有一组完全的复数根。这个结果以代数的基本定理知于世。最后,高斯给出了大家满意的证明。这样,方程式的理论并不要求数的概念再有任何推广。

 
数系,老的和新的

因为复数与实数明显不同,它们的出现就刺激人们开始把数分成不同的类别。斯特凡的平等主义确实有影响,但是不能消除完整的数要比十进制小数好,分数要比无理数好这样的事实。 

到了19世纪,种种新思想要求对于数的分类作更仔细的考察。在数论方面,高斯和库默尔开始考虑那些在某方面类似于整数的复数所成的集合,例如所有形如 a + b 而a和b均为整数的复数的集合。在方程式理论方面,伽罗瓦指出,为了对方程式的可解性作细心的分析,就必须对于哪些数可以算作是“有理的”取得共识。这样,例如他就指出,在阿贝尔关于五次方程式不可解的定理中,“有理”就是指“可以表示为多项式之商,而且这些多项式是指以原方程系数为符号的多项式”,他还指出,这些表达式的集合服从通常的算术的规则。

在18世纪,兰伯特(Johann Heinrich Lambert,1728–1777,瑞士数学家)证明了e和π都是无理数,他还猜测,它们事实上是超越数,就是说它们不会是任何整数系数多项式方程的根。当时,甚至超越数是否存在也属未知;1844年,刘维尔证明了这种超越数确实存在。不过几十年间,e和π都是超越数也得到了证明,而在19世纪末,康托证明了事实上绝大多数实数都是超越数。康托的发现第一次突出地强调了下面的事实:由斯特凡所普及了的数的系统真是深不可测。

然而,数的概念的最大的变化来自哈密顿1943年发现一个全新的数系以后。哈密顿注意到,用复数(而不是简单地用一对实数)来将平面坐标化,会大大地简化平面几何。他就开始来找一个类似的途径来把三维空间坐标化。这件事后来证明是不可能的,但是把哈密顿引导到一个四维的系统,他称之为四元数。这些四元数的性态很像是数,但有一个关键性的区别:乘法不是可交换的,就是说,若q和q’是两个四元数,则qq’和q'q一般是不相同的。

四元数是第一个“超复数”系,而它的出现带来了许多新问题。还有其他的这种数系吗?什么才算是数系?如果说某些“数”不能满足交换律,那么能不能造出破坏其他规则的数来? 

从长期来看,这种智慧上的发酵引导数学家慢慢地放松了“数”或“量”这些模糊的概念,而紧紧抓住代数结构这个比较形式的概念。到头来,每一个数系无非就是一个可以在其上进行运算的实体的集合。使我们感兴趣的是,它们可以用来把我们关心的系统参数化,或者说坐标化。完整的数(现在可以使用它的来自拉丁文的形式化的名字:整数)可以用来把计数概念形式化,而实数可用来把直线参数化,从而成为几何学的基础。

到了20世纪初叶,已经有许多著名的数系了。整数傲居首位,后面是逐步放大的层次:有理数(即分数)、实数(即斯特凡的十进制小数,但是已经仔细地形式化了)以及复数。比复数更一般的还有四元数。但是绝不是仅有这些数系。数论学家搞出了几个不同的代数数域,它们是复数的子集合,但是又可以看作自治的系统。伽罗瓦引进了一些有限的系统,它们服从算术的通常的规则,而现在就称之为有限域。函数论专家要和几个函数域打交道,他们肯定不认为这些是数,但是它们和数的类同已经被人们看到了并研究过。 

20世纪初,亨泽尔(Kurt Hensel)引进了p进数,它是从有理数中赋予素数p以特殊的作用而得出的(因为p可以随意取,所以事实上亨泽尔创造了无穷多个新数系)。它们也“服从算术的通常的规则”,这句话是指加法和乘法的形式正如我们的预期。用现代语言来说,它们都是域。p进数是事物的第一个这样的系统,它们被承认为数,但是又与实数和复数没有看得见的关系——只有一点除外,即它们都包含有理数。结果是它们引导斯坦尼兹(Ernst Steinitz,1871–1928,德国数学家)创造了域的一般理论。

出现在斯坦尼兹的工作里的、向着抽象化的运动在数学的其他部分也发生了,值得注意的是群及其表示的理论以及代数数理论。所有这些理论被艾米·诺特汇集成一个概念的整体,艾米·诺特的计划后来就称为“抽象代数”。这门学科把数完全抛到后面,而集中注意带有运算的集合的抽象结构。

今天,要决定什么样才算是一个“数”已经不太容易了。原来的序列“整数、分数、实数和复数”中的对象肯定要算是数,p进数也算是数。但是,另一方面,四元数极少有人把它们算是“数”,虽然它们也被用来把某些数学概念坐标化。事实上,还有更奇怪的系统,如凯莱的“八元数”也作为坐标而出现。说到底,什么可以用于把手头的问题坐标化,我们就把什么作为数。如果这样的数系还不存在,人们就会去发明它。

以上内容摘自《普林斯顿数学指南(全3卷)》第一卷的第Ⅱ部分——现代数学的起源。


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