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牟合方盖与刘祖原理
2002级数学教育硕士 周文洁 魏晋时数学家刘徽在研究我国古代数学名著《九章算术》时，为《九章》作注，书名为《九章算术注》。在该书中，刘徽明确指出《九章算术》中的球体积公式 何谓“牟合方盖”？用一个正方体的土坯，用一与之内切且等高的空心铁圆柱一套，拿出来，正方体变成了圆柱体，底面正好为原正方体底面的内接圆，然后横放此圆柱，再用同样的一个空心铁圆柱一套（如图一），出现了图二中形状的物体——即由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这个立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞(整个造形也像两顶餐桌上挡苍蝇用的桌罩反向迭合而成的)，所以就称它为“牟合方盖”。 在这个立体里面，可以内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。刘徽指
出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为 π : 4（见图三），所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比亦应为 π : 4。而显然，因为内切圆柱的体积大于合盖的体积，所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比和球体体积与它的外切圆柱的体积的比应不相等，由此说明《九章算术》中的球体积公式是错误的。 显然,只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积，但是他坦诚地记下了自己的困惑，表示“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙言,以候能言者”,表现了一位伟大学者实事求是、寄希望于后学的坦荡胸怀。 二百年后，能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖暅！祖暅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。同刘徽一样，除了少量的史料外，我们对祖氏父子二人的认识甚少，就连他们的著作《缀术》亦早已失传，非常可惜。 祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一——不妨称为“小牟合方盖”（如图四），设 OP = h，过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC。又设内切球体的半径为 r，则 OS = OQ = r，由勾股定理有PS = PQ =
如果将图四的立体放在一个边长为 r 的正立方体之内（如图五），不难证明图五中与图四等高处阴影部分的面积等于h 2。在图六中，设由方锥顶点至方锥截面的高度为 将图四中八分之一个“牟合方盖”的体积，加上图六中的锥体体积，应该等于图五的正立方体体积，由此可知八分之一个“牟合方盖”的体积V = 在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。“祖暅原理”从方法至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出，这不能不算是一项杰出的成就。这一球体体积公式比欧洲阿基米德的虽然出现较迟，但二者有异曲同工之妙。所用“缘幂势既同，则积不容异”的原理，其中“势”即是高，“幂”是面积，意思是说，“如果二等高的立体在同高处截二立体的面积恒等，则这两个物体的体积相等。”这就是我们今天所称的“祖暅原理”。 “祖暅原理”在17世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，现在一般认为是由卡瓦列利首先引用，称为卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri)，但事实上由于受刘徽的启发，祖氏父子比卡瓦列利早一千年就用到了这个原理，所以我认为称之为“刘祖原理”可能更切合实际?
参考文献： 1． 刘振修著 周易与中国古代数学 湖南师范大学出版社 1993 2．王幼军、金之明 著名数学家和他的一个重大发现 山东科学技术出版社 周文洁於株洲 2004.5.10
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