婆罗摩笈多定理

 

婆罗摩笈多定理

婆罗摩笈多定理证明：由圆周角定理可得，∠ABD=∠ACD，由射影定理得∠ACD=∠DPE,即∠ABD=∠FPB，∴BF=PF
由圆周角定理可得∠BAC=∠BDC,由射影定理得∠BDC=∠CPE，即∠BAC=∠APF,∴AF=BF.证毕。。。

 

 

证明：

连结BE,CE

∵AD⊥BC

∴BE2-BA2=CE2-CA2

BE2=AB2+AE2-2AB*AE*cos∠BAE

CE2=AC2+AE2-2AC*AE*∠CAE

AH=AB*cos∠BAH=AC*cos∠CAH

∴AC*AE*cos∠CAE=AB*AE*cos∠BAE

∵AC=AG,AB=AF,

∴AG*cos∠CAE=AF*cos∠BAE

∵sin∠GAE=-cos∠CAE, sin∠FAE=-cos∠BAE

∴AG*sin∠GAE=AF*sin∠FAE

即AG/sin∠FAE=AF/sin∠GAE

∵AG/sin∠GEA=GE/sin∠GAE, AF/sin∠FEA=FE/sin∠FAE

∵sin∠FEA=sin∠GEA

∴AG/AF=(GE/sin∠GAE)/(FE/sin∠FAE)

∴GE/FE=1

即E为FG的中点。

得证。