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每一次骑自行车时，他都在考虑自行车中蕴含的数学奥秘。其中最主要的是：在踩踏板时，到底是什么看不见的力量使自行车保持平衡？为什么一开始操纵向右转自行车会向左方倾斜以及驶向左方？自行车在前进时是怎样靠自己保持平衡而不依靠骑手？ 译者：radium（哆嗒数学网翻译组成员） Jim Papadopoulos花了一辈子的时间琢磨自行车运动中蕴含的数学问题，现在他的工作已经发现了新的苗头。 在马萨诸塞州的波士顿，七辆自行车倚靠在Jim Papadopoulos地下室的墙上，自行车上的油漆被擦挂过，轮胎也是扁的。作为婚礼礼物的手工框架覆盖着一丝细尘。“在我搬家的时候，我把我大部分作为研究的自行车都扔掉了。”他说。而那些些保留下来的自行车对他来讲都是意义非凡的。“这些都是我过去骑的。” Papadopoulos，62岁，他十分痴迷于自行车，一生中大部分时间都在玩弄自行车，时常忽视掉其他事情。当他还是一个在大学读书的少年时他就参加业余比赛，他深陷于其中的乐趣。每一次在骑自行车时，他都在考虑自行车中蕴含的数学奥秘。其中最主要的是：在踩踏板时，到底是什么看不见的力量使自行车保持平衡？为什么一开始操纵向右转自行车会向左方倾斜以及驶向左方？自行车在前进时是怎样靠自己保持平衡而不依靠骑手？ 在纽约的一个叫Ithaca的小镇上时，作为一个在康奈尔大学的年轻工程师，他十分痴迷于研究这些问题。但是他并没有发表他的大部分想法，并最终离开了学术界。到20世纪90年代末，他在一家企业操纵机械来制造卫生纸。“最后，如果从来没有人发现你的工作，那它就是毫无意义的。”他说。 但后来有人发现了他的工作。在2003年，他来自康奈尔的老朋友，也是他的合作者——工程师Andy Ruina，给他打了一通电话。一个叫Arend Schwab的荷兰科学家来到他的实验室想重新开始他们这个团队关于自行车稳定性的研究。 “Jim，你得成为这个团队的一员。”Ruina对他说。 于是这些研究员们一起继续破解一个长达世纪之久的争论：是什么让没有骑手的自行车靠自己保持平衡，并在《皇家学会会议录》和《科学》上发表。他们试图给500亿美元的全球自行车产业——一个比纯数学更加依赖直觉和经验的产业——带来新的科学高度。他们的研究成果可能会刺激一些必要的创新，如帮助设计师去创造新一代的踏板和电动车，使其乘坐起来更稳定、更安全。通过洞察自行车的原理也有转移到其它领域的潜力，比如假肢和机器人的研究。 “每个人都知道如何骑自行车，但几乎没有人知道我们是怎样骑自行车的。”一个在加利福利亚大学研究机械学的工程师Mont Hubbard说道：“纯粹从智力角度来看，自行车的研究是非常有趣的。但它也有实际意义，因为他影响着身边的每一个人。” 那些只会用牛顿运动三大定律来完成项目的工程师的理念是过时的，对于一个机械学家来讲，自行车难题特别有诱惑力。“我们都被困在19世纪，那时数学、物理和工程之间没有任何差异。”Ruina说：“自行车仅仅是一个数学问题，只是它碰巧和你见到的某样东西有关而已。” 第一个脚蹬车的专利，也是两轮自行车的前生，要追溯到1818年。自行车的发展在试验和错误中摸索前行，并在二十世纪初便有了它们今天的模样。但是几乎没有人想过它们是怎样工作的以及为什么这样工作。William Rankine，一个苏格兰工程师分析过蒸汽机，在1869年第一个谈论“countersteering”现象，即骑手能通过简单地扭转手柄向右使自行车向左行驶，并让自行车向左倾斜。 倾斜和驾驶之间的联系产生了自行车最奇怪的特征：当自行车滑行时可以靠自己平衡。猛推一个没人骑的自行车时，它会在摇摆中前行，但它通常会恢复它的前进轨迹。在1899年，英国数学家Francis Whipple导出了最早的也是持续时间最长的自行车的数学模型，这个模型可以用来探索自行车的自我稳定的原理。Whipple 模型中的自行车有4个刚——两个轮子，骑手的车架和前叉——被两个轴和铰链通过重力作用。 在自行车运动轨迹模型中插入一个对特定自行车的度量，就像逐帧放映的动画。一个工程师可以使用一种称为特征值分析的技术来研究自行车的稳定性，因为这可能是一个飞机设计问题。1910年，依靠这样的分析，数学家Felix Klein 和Fritz Noether参照了理论物理学家Arnold Sommerfeld的关于回转效应——车轮利用旋转走势抵抗倾斜——的贡献。把自行车向左推这时快速旋转的前轮将向左转，自行车有可能保持直立。 1970年4月，化学家以及科普作家David Jones在《今日物理》的一篇文章上驳斥了这个理论。他讽刺道，骑在一系列理论上无法驾驶自行车。Jones建了一辆在前端有一个反向旋转车轮的自行车，可以有效地消除回转效应。但是在行驶中手不受约束这方面还有点疑问。 这一发现促使他寻找另一种可能存在的力。他对比了自行车的前轮和可以随着运动方向移动的商场购物车的脚轮。自行车的前轮可以像脚轮一样，因为车轮与地面之间的接触点，位于操作轴后面5厘米至10厘米之前的任何地方（见《无人自行车保持直立吗？》）。这段距离被称为“前轮尾迹”。Jones发现如果一个自行车有太长的前轮尾迹将稳定到很难前进。然而，如果前轮尾迹是负的，将是一个“死亡陷阱”，他会在你释放手把的时候的一瞬间让你翻跟头。 当一个自行车开始摇摇欲坠，他推断，脚轮效应使前端在重心下降的情况下转向，从而保持自行车竖直。对于Jones来说，脚轮的前轮尾迹是自行车自我稳定的唯一解释。在他40年后出版的回忆录中，他认为他的这个发现是他的伟大成就之一。“我现在被誉为现代自行车理论之父。”他说。 那篇文章将给一个在Corvallis Oregon的少年Jim Papadopoulos 留下了深刻的印象，他虽然拥有极高的天赋，但他的家庭生活却支离破碎。在1967年，他的父亲Michael，一个来自英国的应用数学家，开始在俄勒冈州立大学工作。但是 Michael Papadopoulos在抗议越南战争后被拒绝继续任期并与该大学进行了长达十年之久的法律纷争，这使他失去工作和家庭，只能在垃圾桶搜寻废料。Jim的母亲在20世纪70年代初自杀了。“就在我睁开眼看世界并决定我是谁时，” Papadopoulos说：“我的家庭就支离破碎了。” 他在自行车上找到慰藉。他骑着Peugeot AO8（一款自行车）在城镇中穿梭，头发披在肩上。他没有再上课，成绩也严重下滑。在他17岁时，他辍学，离开家。但是就在他放弃研究时，他的老师给了他Jones的一篇文章。 Papadopoulos发现它十分迷人，但又让人困惑。“我得学习这玩意儿。”他想。他一个夏天都在加利福尼亚州伯克利闲荡，并在空余时间阅读George Arfken的教材《物理学家的数学方法》。然后他在俄勒冈州的Eugene的胶合板厂工作，赚取足够的钱购买传奇的Schwinn Paramount牌自行车去参加每周的比赛。在1973年，他为在英国利物浦的框架制造商Harry Quinn工作，但他干得糟糕，Harry Quinn辞退了他。 Papadopoulos于1975年返回俄勒冈，在州立大学度过了一年，然后在剑桥的麻省理工学院（MIT）开始机械工程本科的学习。他在学校干的很好。石油公司艾克森后来支持他继续在断裂力学上攻读博士学位。Michael Cleary作为Papadopoulos的顾问，认为他很适合做学术。“我认为Jim将会成为一名大学教授——我们当然希望它会在麻省理工学院。”他告诉来自艾克森公司内部杂志的一位作家。 Papadopoulos有其他的想法，他一直在学习Whipple模型和Jones的文章。在一个夏天，他在加利福利亚州洛帕克的美国地质调查局实习，也是在那里，他遇到了Andy Ruina。 他们两个很快就成了朋友，当Ruina在康奈尔获得工作时，他聘用Papadopoulos作为博士后。“我们一直谈论自行车，但我没有意识到关于自行车他想做一件严肃而认真的事情。”Ruina说。 Papadopoulos使Ruina相信那些自行车公司——像石油公司——可能有兴趣支持学术研究。所以他开始筹款，为自行车制造商提供帮助。只要$5,000，他们成为康奈尔自行车研究项目的赞助人，一个雄心勃勃的计划——研究在雨中刹车失灵时的各种形式下车轮的力量——开始滋生。 “每一个人都知道如何骑自行车，但没有人知道我们怎样骑得自行车。” Papadopoulos的第一个目标是彻底明白是什么使一辆自行车比另一辆更稳定。他坐在办公室仔细翻阅了30个发表出来的试图表达自行车运动的等式。但他对这样的“伪科学”表示憎恶，他说：这些等式是如何处理连接自行车车架形状和几何的第一步。但是每一个新的模型对早期的工作很少提及或根本没有提及。许多都充满了错误，并且很难作对比。他需要从头开始。 经过一年的工作，他手里有了一个他相信是最终的方程组。现在，是它们该回应他的时候了。“每次我都盯着方程，在那儿坐几个小时，试图弄清它们的含义。”他说。 他首先就脚轮尾迹，重新写了自行车方程，这是Jones所主张的关键变量。他希望发现如果前轮尾迹是负的，自行车将不稳定。但是，他的计算结果则不然。在他当时准备的一份报告中，他简述了一辆异乎寻常的自行车，自行车的重量突出在车把的前面。“一个足够向前的质心可以补偿一个微小的负向的前轮尾迹。”他写到。没有单变量，这似乎可以解释自我稳定。 这个发现意味着这里没有简单的经验法则能保证这样的自行车易于驾驶。对于Papadopoulos来说，前轮尾迹是有用的，回转效应是有用的，质心也应该是有用的，这都是具有启发性的。最早的框架建造者只是偶然发现一个感觉不错的设计，并在自行车蕴含的知识宇宙中只看到了冰山一角。但他们并没有通过测试其中蕴含的几何原理来改变自行车的设计。 两年后，Ruina不再支持Papadopoulos，除了自行车制造商Murray，就仅仅得到了两个人，Dahon和Moulton的唯一的行业捐赠。他们是小轮自行车的制造商——也许是因为这种自行车非常规的设计让他们难以驾驶。Ruina开玩笑说他应该改名为“折叠自行车研究项目”。这是绞刑架下的幽默（面临大难时的幽默）。 虽然Papadopoulos在自行车研究的数学方面取得进展，他作为第一作者只发表过一篇与该主题相关的论文。“我找到了很多令人愉快的新发现然后成功地发展其中的细节。详细地写出来却很无聊。”他说。没有钱和出版物，他在自行车研究中的时间大大减少了。在1989年，他把他的自行车放在一辆客货车然后向西方行驶到伊利诺伊州，他当时的妻子在那里有一份工作。他忍受了一系列教学和工业界的工作，这些都是他所讨厌的。在他的业余时间，他为自行车科学迷创立并主持了核心自行车科学电子邮箱列表，他也为现实版的电视节目“Junkyard Wars”组建了一辆可容纳几个手提箱的车。 在2001年，MIT工程师也是第一台现代自行车发明者David Wilson邀请了Papadopoulos合作了第三版的“自行车科学”。债务和家庭责任使Papadopoulos应接不暇。 他没有把第一章发给Wilson，也停止了回复电子邮件。 Wilson感觉被背叛了，“他是一个很聪明的家伙，” Wilson说：“但是他总是不能完完整整做完一件事。”Papadopoulos说，他完整地完成了工作，但他多花费了两年，部分是由于离婚带来的过重的压力。 在康奈尔， Ruina继续前进。他将团队对自行车的见解应用到了一个新的领域：机器人。如果自行车能够在没有控制系统的情况下表现出这种优雅的稳定性，他推断，这有可能设计出一种拆卸式步行机来完成相同的事。 1998年，他与荷兰代尔夫特理工大学Schwab的研究生Martijn Wisse合作，建立了一个双足行走的机器人，可以在没有电机的情况下沿着轻微的斜坡行走，并将能量存储在摇摆臂中。只需添加一些电动机就产生了一个能够在水平地面上行走的节能机器人。在2002年，Schwab决定与Ruina一起度过他的公休假，他们开始讨论老式自行车的运行。那时 Ruina叫上了Papadopoulos并支付他来访问的费用。“这是我第一次见到这个天才。”Schwab 说。 一旦你有自动自行车 你可以做很多疯狂的实验 随着越来越多的自行车行驶在路上，Schwab难以想象居然没有人发表正确的自行车方程组，或者把方程应用到自行车的设计挑战上。在一年内，他和现在在荷兰的特文特大学的工程师Jaap Meijaard独立得出了他们自己的方程，并发现与Papadopoulos的完全一致。他们在韩国的一个工程会议上提出了这些最佳的方程。四个合作者共同发表了这些公式。 现在的挑战是证明它不仅仅是一个数学发现。Schwab和一个学生花了一年的时间制造了一个有着一个极小负向前轮尾迹，能够自我稳定的自行车。看起来像剃须刀，滑板车和跷跷板的后代。他把重心斜置到前轮的前面，然后用一个反向旋转的轮去抵消回转效应。在自行车靠惯性滑行的视频中，你可以看见他倾斜然后猛然转向右，但它又很快自己恢复平衡。实验证明，Papadopoulos对于导致自行车稳定或不稳定因素的解释是正确的。 然而，在等待了30年之后，他的发现才引起了大量读者注意。Papadopoulos感到很气馁。“它没有按照我的想象改变任何事。”他说。今年的自行车架看起来跟去年没什么两样。“人们仍然因循守旧。”他说。然而，其他的研究人员已经被拉进了该组织的轨道，引起了足够大的势头，使他们得以在2010年发起一个自行车和摩托车动力学会议。来自世界各地的修补匠聚集到一起，其中一些人也建立了形状怪异的自行车用来测试设计原理。 今年会议的组织者之一，加利福尼亚大学戴维斯分校的工程师Jason Moore试图探索自行车车架几何形状与手把的客观测量——它操作的容易性。这项工作的是受大量对飞行员的研究所启发。Moore创造了一个仿人类控制的模型，通过在自行车转向装置的检测器上装备传感器，来执行在自行车上的各种倾斜和速度方面的演习。为了强迫自己平衡并且仅靠掌握方向盘运动来行驶（而不是靠改变他的重量），他不得不通过穿上刚性的上半身安全带来把自己束缚在自行车上。这项研究确认了存在已久的假设——自行车的手把越稳定越好，这间接给框架建造者提供了一个方法来优化他们的设计。 它也带来了一个谜题：转向装置转矩所需的是Whipple自行车模型所预言的两倍或三倍。这可能是由轮胎的摩擦和弯曲引起的，而这些在模型中并没有考虑，但没有人能肯定。为了进一步的测试，Moore和他的同事建立了一个可以平衡自己的机器人自行车。“一旦你有机器人自行车，你可以做很多疯狂的实验，而不必把实验员推入危险之中。”他说。（他早期处理的实验之一需要他用一根木条从一旁猛击来重新保持平衡。）不像许多其他无人驾驶的自行车机器人，它不需使用内部陀螺仪来保持直立，但依赖于独立的转向装置。Moore把这个问题丢给了Schwab进行进一步研究。 如今，Schwab拥有Papadopoulos一直梦想的那种实验室，而Papadopoulos也很感激能够合作。“这是你可以想象的最美妙的事情。”他说。Schwab的其他项目包括“线控转向”自行车，能够让他分离操舵运动和平衡机制；“转向辅助”自行车，可在低速保持稳定。他也发现了一个后方转向的斜躺车（一种可躺卧蹬骑的自行车），显示了自我稳定性，其中一部分利用了增大前轮来增强回转效应。后方转向的斜躺车的主要优点是，它比标准的斜躺车拥有更短的链条，这将导致更高效的能量传递。“以前人们试图建造它们，但它们无法驾驶。”Schwab说。 Papadopoulos现在在波斯顿东北大学有一个教职，他现在正重新适应学术界的生活。他与人合作，检验一些思索良久的想法，关于为什么一些自行车在高速行驶中会摆动。他相信他可以用一个阻尼器通过“吸收”座椅中的震动来消除因为速度导致的摆动。他和他的新同事以及学生正在涉及其他类型的问题，并不是所有的问题都与自行车相关。 在他的地下室，Papadopoulos打开棕色文档储藏柜的抽屉，开始浏览那些起皱的马尼拉纸做的文件夹上的有标签的注释，如同“轮胎压力”、“生物力学”和“康奈尔”。他拿出一本教科书。“运动生理学？我从来没有真正了解它。”他说。他把它抛到一边。在抽屉的底部，他找到一个厚厚的有关自行车研究想法的文件夹，上面标记为“未完成”。 Papadopoulos思索了一秒，然后进行了修改：“大部分未完成”。 此文原载于《自然》网站， 此文原载于《自然》网站，哆嗒数学网翻译组成员radium翻译，经授权转载。 |
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