神奇的1和0
［知识要点］
1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有
⑴α×1=1×α=α；α÷1=α。
⑵α＋0=0＋α=α；α－0=α；α×0=0×α=0；0÷α=0。
⑶α÷0无意义。
2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；中间有一个0或几个0连在一起都只读一个
0。
［范例解析］
例1计算下面由数字1组成的“金字塔”，把所有的1都加起来，看谁算得快。
1111111111
111111111
11111111
1111111
111111
11111
1111
111
11
1
解“金字塔”每层的和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
例2请回答：数字3最少是几个数字相乘的积？最多呢？
解由于3×1=3，所以3最少是两个数字的积，最多可看成是一个数3和无穷多个数1的
积。
例3我们做一个数字计算游戏。任取一个不是1的数，如果是双数就除以2（如取18，就
18÷2）；如果是单数就乘以3加上1后再除以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们取
数3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数7呢？
解将数3按这两种方法计算有：
3×3＋1=1010÷2=55×3＋1=1616÷2=88÷2=44÷2=22÷2=1
简记为：3→10→5→16→8→4→2→1
同样，对于数7有：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
数3和数7经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是1。这种计算方法称“角
谷猜想”。
例42÷0得几？说明理由。
解假定2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。
这说明，找不到一个数与0的积等于2，故2÷0无意义。
例5把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么：
⑴两个0都不读出来的数是什么数？
⑵只读出一个0的数是什么数？
⑶四位数中最大的一个数是什么数？
⑷四位数中最小的一个数是什么数？
解⑴9900⑵9090⑶9009⑷9900
例6计算：⑴1300×3⑵1600×5⑶470×3⑷5008×5
解
［思路技巧］
任何一个数中间或末尾的0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间
有几个0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有0的时候，可以先用乘数去乘0前
面的数，然后在乘得的数的末尾填写0，填写0的个数要与被乘数末尾的0的个数相同。
总之，0和1有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只
用1和0来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。
［习题精选］
1．填空。
1×（）=11＋（）=11－（）=1
2－（）=11÷（）=17÷（）=1
2．计算。
⑴617×0×4⑵5783×9×0⑶80×3×1
⑷2030×3×4⑸3020×2×3⑹7010×1×2
3．用“角谷猜想”计算方法填数。
⑴6→□→□→□→□→□→□→□→
⑵18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→
□→1
4．在6的后面添上一个0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？
5．1400末尾的两个0可以不读，也可以不写，对吗？为什么？
6．1005中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？
7．0、2、4、6、8五个数字的和与2、4、6、8、0五个数字的积相比，不用计算，你说是和
大？还是积大？
8．比比看，谁做得又对又快？
1＋00＋11×11×01－10＋01÷10×01－00÷1
1＋16×16÷17＋00＋77－00÷77－77×7
（6－6）×4（8－8）×00÷（8－4）
1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1
9．用四个3、三个0写成七位数，按下面的要求写出各多位数：
一个零都不读出来（）只读出一个零（）
读出两个零（）读出三个零（）
10．数字迷。
下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数：
⑴76255319
这个数被3除余1；
这个数比最小的两位数大；
这个数加上1，再乘以5正好是最小的三位数；
这个数的几？
⑵30500530104002007003000
这个数只读出一个零；
这个数的最高位在二节中；
这个数各个数位上的数的和为8；
这个数是几？
11．用1、0、0、4四个数字写出两个四位数，要使它们是差是99，这两个四位数分别是（）
和（）。
余数的妙用
［知识要点］
1．被除数=除数×商＋余数；
2．余数要比除数小；
3．会解有余数除法的应用题。
［范例解析］
例1如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？
解14÷3=4余2
每班分得4个还余2个。
例2下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？
解第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8；
第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；
第三个竖式是对的，余数3小于除数5。
说明计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是：
被除数=除数×商＋余数
被除数－余数=除数×商
例3把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？
解11÷3=3余2；12÷3=4余0；13÷3=4余1；14÷3=4余2；
15÷3=5余0；16÷3=5余1；17÷3=5余2。
说明一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。
“余数”在我们生活中还有不少的用处呢！
例4国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装
50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？
解可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成
50÷6=8（组）余2（只）
于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡各配9只。
例5今天是星期三，再过20天是星期几？
解今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了3
天。所以有
（20＋3）÷7=3余2
即再过20天是星期二。
例6把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。
（）÷（）=（）余（）
分析第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数18。其次，除数比余数要大，因此，
第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是7×4大于18，所以最后一
个括号中只能填数4。即题中式子填数如下：
（18）÷（7）=（2）余（4）
［思路技巧］
１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。
２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。
［习题精选］
１．看图填数。
⑴11÷3=______(根)??______（根）
⑵14÷4=______(份)??______（个）
14÷3=______(个)??______（个）
２．下面各题的计算对吗？把不对的改过来。
⑴38÷5=6??849÷6=7??749÷8=5??9
33÷4=8??12÷1=1??117÷3=5??2
３．（）里最大能填几？
（）×8＜55（）×5＜19（）×7＜33
（）×9＜62（）×6＜50（）×4＜14
４．55除以7，商几余几？除以8呢？除以9呢？
５．
被4除没有余数的：________________
被9除没有余数的：________________
６．⑴用下面各数除以2时，得到哪些余数？除以4时，得到哪些
余数？
11、13、14、15、17、19
⑵用下面各数分别除以5、6时，各得到哪些余数？
11、12、13、14、15、16、17
７．把23、7、3、2填入两个式子中，使它们的余数相同。
（）÷（）=（）??（）
（）÷（）=（）??（）
８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
（）÷7=（）??1
（）÷6=（）??5
（）÷5=（）??4
９．在□里填上适当的数。
１０．在机场上停着20架飞机，准备每3架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？
１１．⑴把16张风景画片平均分给5个同学，每人分得几张？还剩几张？
⑵把16张风景画片分给同学，每人分得5张，可以分给几个同学？还剩几张？
１２．⑴一件衬衣前面要钉5个纽扣，袖口要钉2个纽扣，一共要钉几个纽扣？
⑵现有45个纽扣，每件钉7个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？
１３．有30千克水果糖，每盒装4千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？
１４．一个星期有7天，十月份有31天，十月份里有几个星期零几天？
１５．⑴学校开会庆“六一”，有9面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？
⑵学校开会庆“六一”，有9面彩旗，会场两边各插4面旗，中间插1面旗，共插了
几面旗？
周期现象
［知识要点］
自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国民
间流传着“初三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是周
期现象。
算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被3除的余数是：
1、2、0、1、2、0、1、2、0、??
它是1、2、0重复出现的一列数，即周期是3。
本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。
［范例解析］
例1有一串黑白珠子排列如图1-4所示。
○●○○○●○○○●○○○●○○○●○??
图1-4
其中黑珠与白珠共有70个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？
解我们由图1-4可知○●○○四个珠子是一个周期，又70÷4=17余2，即这一串珠子经
过17次重复后还余2个珠子○●，因此，最后一个是黑珠子。
一个周期的4个主张中有3个白珠，最后2个主张中有一个白珠，白珠一共应有：
3×17＋1=51＋1=52（个）
说明对于周期问题，关键是要抓住周期规律这一重要环节，问题才好解决。
例21994年4月10日是星期六，那么这一年的7月5日是星期几？
解从4月10日至7月5日的天数是：
（30－9）＋31＋30＋5=87（天）
又一个周期的周期是7，所以
87÷7=12余3
即87天经过12个星期又3天，这3天应是星期六、星期日、星期一。
我们推算出7月5日是星期一。
例31、2、0、1、2、0、1、2、0??第1995个数字是多少？
解这一列数中，它的一个周期是：1、2、0，即周期是3。又
1995÷3=665
故这一列数按12、0重复665次，所以第1995个数字是0。
例41＋2＋3＋4＋?＋1992＋1993被5除的余数是多少？
分析这个问题如果先求和，就比较麻烦。我们知道，这1993个数被5除的余数周期性的
出现，组成下面一列数：
1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0??
我们知道，1、2、3、4、0是一个周期，周期是5。并且一个周期的5个余数的和是：
1＋2＋3＋4＋0=10
又10÷5=2，即是一个周期中5个数字之和可被5除尽。这就是说，前5个数字的
和能被5整除，接着的5个数字的和同样也能被5整除，等等。这样，有多少个5
个数字的和可以被5整除呢？
我们知道，1993÷5=398余3。
即应有398个5个数字的和可以被5整除。只考虑最后三个数的余数是1、2、3。
又1＋2＋3=6，6÷5=1余1
所以，它们的和被5除的余数是1。
［思路技巧］
１．对于周期问题，解决的关键是要正确观察出周期的规律。
２．有些问题，虽然不是周期问题，我们可以巧妙地将它转化为周期问题来解决。
［习题精选］
１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5??，第273个数字是多少？
２．某年3月5日是星期四，那么这一年的10月1日是星期几？
３．某年的9月15日是星期五，那么这一年的5月5日是星期几？
４．同样大小的红、白、黑三色球共193个，它们按如图1-5规则排列，其中红球有多少个？
最后一个球是什么颜色？
５．1＋2＋3＋4＋??＋1993＋1994的和被9除的余数是多少？
６．有14个数排成一横排，每个数写在一个方格子里，它们具有这样的性质：任何三个相邻
的数加起来都是10；另外从左边算起的第4个数等于5，第12个数等于4，问第8和数“？”
等于多少？
5？4
７．1＋2＋3＋??＋9999＋10000被7除的余数是多少？
８．1994年的1月5日是星期三，问这一年的7月1日是星期几？
９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3??这一列数的第186个数字是多少？这186个
数的和是多少？
１０．拼音字母A、B、C按下面的规律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C??共有178
个字母。请填下列空格：
⑴一个周期A、B、A、A、C它有（）个字母；
⑵一个周期中A有（）个，余数中A有（）；
⑶共有（）×（）＋（）=（）个A；
⑷最后一个字母是（）。
加减巧算
［知识要点］
１．加法的交换律与结合律，用字母表示则有：
α＋b=b＋α,α＋(b＋c)=(α＋b)＋c
２．减法的性质，用字母表示则有：
α－(b＋c)=α－b－c
反之，α－b－c=α－(b＋c)
［范例解析］
例1简便计算下列各题。
⑴129＋84＋71⑵83＋135＋65⑶34＋75＋66⑷128＋73＋27＋17
解⑴129＋84＋71
=（129＋71）＋84
=200＋84
=284
⑵83＋135＋65
=83＋（135＋65）
=83＋200
=283
⑶34＋75＋66
=（34＋66）＋75
=100＋75
=175
⑷128＋73＋27＋17
=（128＋17）＋（73＋27）
=145＋100
=245
例2你能巧算297＋65的和吗？
分析我们发现，第一个加数只要加上数3就凑成整数300，这样计算就方便多了。
解法一297＋65
=297＋65＋3－3
=（297＋3）＋（65－3）
=300＋62
=362
解法二297＋65
=297＋62＋3
=（297＋3）＋62
=300＋62
=362
说明“凑整”是速算中最常见、简单易行的方法，计算时，若凑成10、100、1000、??
计算自然方便。但“凑整”不是任意凑，而是有目的地进行，才能起到速算的效果。再看
例3。
例3速算下面两题。
⑴3471＋5899⑵3891－1992
解⑴3471＋5899
=3471＋（5899＋101）－101
=3471＋6000－101
=9471－101
=9370
⑵3891－1992
=（3891－2000）＋8
=1891＋8
=1899
例4速算下面两题。
⑴280－（80＋92）⑵297－173－27
解⑴280－（80＋92）
=280－80－92
=200－92
=108
⑵297－173－27
=297－（173＋27）
=297－200
=97
［思路技巧］
“凑整”是速算中最常见的方法，有目的地把数凑成10、100、1000、??，可以使问题
简化。
［习题精选］
１．简便计算下面各题。
⑴74＋29＋26⑵153＋29＋171⑶58＋47＋42＋13
⑷149＋32＋151＋68⑸2608＋529＋392＋27
２．看谁算的快。
⑴36－12－6⑵75－36－19⑶129－（29＋40）⑷1995－（1001＋895）
３．速算。
⑴5789＋2011⑵1832－997⑶6801＋345＋3199⑷362＋345＋638＋655
４．看谁算的快。
⑴57＋78＋43＋42⑵249＋132＋151＋68⑶405＋997⑷298＋87
５．下面有这样几排数。
16111621
27121722
38131823
49141924
510152025
⑴第一竖行各个数的和是15，请你很快算出其余四个竖行各个数的和；
⑵第一横行各个数的和是55，请你很快算出其余四个竖行各个数的和。
乘法巧算
［知识要点］
１．用乘法口诀计算减法；
２．乘法的交换律、结合律。用字母表示为：
α×b=b×α，α×(b×c)=(α×b)×c；
３．乘法对加法的分配律，用字母表示为：
α×(b＋c)=α×b＋α×c；
α×b＋α×c=α×(b＋c)
［范例解析］
例1下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？
21－12=931－13=1841－14=2751－15=36
61－16=4571－17=5481－18=6391－19=72
分析首先看被减数和减数的关系，它们正好是被减数的十位数字与个位数字的位置交换了
一下就得到减数；其次，它们的差正好是9的倍数。即9的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、
6倍、7倍、8倍，也即是9的乘法口诀的得数。这是说明道理？
因为十位上的数变成个位上的数，就要相差几个9，如10→1，差1个9；20→2，差
2个9；30→3，差3个9；??反过来也一样，1→10，差1个9；2→20，差2个9；3→
30，差3个9；??
所以，一个两位数交换它的个位与十位上的数字的位置后，得一新的两位数，然后将
大数减去小数，它们的差就是这两个数字的差与9的乘积。即可用的乘法口诀计算。
例2下面一组减法题，看谁算得快。
⑴72－27=（）⑵43－34=（）⑶83－38=（）⑷53－35=（）
⑸94－49=（）⑹63－36=（）⑺87－78=（）⑻73－37=（）
解⑴五九四十五⑵一九得九⑶五九四十五⑷二九一十八
⑸五九四十五⑹三九二十七⑺五九四十五⑻四九三十六
例3简便计算下列各题。
⑴214×5×8⑵6×586×5⑶1607×4×5⑷25×8×125×4
解⑴214×5×8
=214×（5×8）
=214×40
=8560
⑵6×586×5
=（6×5）×586
=30×58
=17580
⑶1607×4×5
=1607×（4×5）
=1607×20
=32140
⑷25×8×125×4
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000
例4下面有一组乘法算式，看谁算得快。
1×99=2×99=3×99=4×99=5×99=
6×99=7×99=8×99=9×99=
分析我们首先找规律。从2×99看起，它可以靠成是：
2×99=2×（100－1）
=2×100－2×1
=200－2
=198
照这样计算，3×99=300－3=297，即几乘以99可看成是几百减去几就得结果，
因此，我们可很快算出各式的结果。
解1×99=992×99=200－2=1983×99=300－3=297
4×99=400－4=3965×99=500－5=4956×99=600－6=594
7×99=700－7=6938×99=800－5=7929×99=900－9=891
［思路技巧］
有目的地把数凑成整十、整百、??，可使计算简便。
［习题精选］
１．请你用乘法口诀来计算下面各题，看谁算得快。
53－35=（）94－49=（）73－37=（）82－28=（）
63－36=（）40－4=（）32－23=（）80－8=（）
96－69=（）70－7=（）42－24=（）71－17=（）
２．速算下面各题。
⑴2×729×5⑵4×83×25⑶17×125×8
⑷132×5×4⑸222×5×8⑹828×25×2
３．简便计算。
⑴42×3＋42×2⑵17×19＋181×17⑶125×（8－1）⑷5×（24＋38）
４．下面有三个算式：
142×2=284142×3=426142×4=568
你能利用这三个算式计算下面两道乘法题的得数吗？
142×5=（）142×6=（）
５．我们知道：37×3=111，你能利用它快速算出下面各式结果吗？
37×6=37×9=37×12=37×15=37×18=37×21=
连续自然数求和
［知识要点］
１．连续自然数求和的方法：
头尾两数相加的和×加数的个数÷2
２．连续自然数逢单时求和的方法：
中间的加数×加数的个数。
［范例解析］
例1比一比，看谁算得快。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=？
解法1如图2-2所示。
4个10加上5等于45。
解法2如图2-3所示。
5个9等于45。
解法3
得到9个10，即90，它是和数的2倍，即90÷2=45。
说明解法1是利用“凑整”技巧进行简算；
解法2是利用“0”的神奇性配对进行速算；
解法3是常说的高斯求和法速算。
你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题：
“求1＋2＋3＋4＋??＋100的和”。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于5050。
高斯是怎样算的？他将这100个数倒过来，每相对两数的和等于101，共有100个101，
将101乘以100后再除以2，结果等于5050。
我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。
头尾两数相加的和×加数的个数÷2
例2计算下面两题。
⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13=？
⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28=？
解⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13
=（4＋13）×10÷2
=17×10÷2
=170÷2
=85
⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28
=（21＋28）×8÷2
=49×8÷2
=392÷2
=196
说明只要的连续自然数求和，不一定要从1开始，均可用此法计算。
例3求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59
解法153＋54＋55＋56＋57＋58＋59
=（53＋59）×7÷2
=112×7÷2
=784÷2
=392
解法253＋54＋55＋56＋57＋58＋59
=56×7
=392
说明如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和：
中间的加数×加数的个数。
例4求和。
⑴1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
⑵24＋26＋8＋30＋32
解⑴1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
=9×9
=81
⑵24＋26＋8＋30＋32
=28×5
=140
说明此两题虽然不是连续自然数相加，但是每相邻的两个加数直接都相差同一个数，同样
可用公式计算。
［思路技巧］
计算连续自然数相加时，可用头尾两数相加的和×加数的个数÷2计算；如果相加的连续
自然数是单数时，可用中间的加数×加数的个数求和；如果不是连续自然数相加，但每相邻
两个加数之间都相差同一个数，也可用以上两种方法计算。
［习题精选］
１．求和。
⑴12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19
⑵28＋29＋30＋31＋32＋33
⑶101＋104＋107＋110＋113＋116
２．求和。
⑴41＋42＋43＋44＋45
⑵12＋14＋16＋18＋20＋22＋24
３．求和。
⑴77＋78＋79＋80＋81＋82
⑵1006＋1005＋1004＋1003＋1002＋1001
用运算符号连算式
［知识要点］
１．添运算符号＋、－、×、÷和括号（），使等式成立；
２．逆推法；
３．凑数放。
［范例解析］
例１用运算符号把下面式子中的４个３连起来，使等式成立。
３３３３=9①
分析我们从最后一个3向前考虑添运算符号，如果添×号，①变为：
333×3=9两边除以3，即为
333=3②
将②中左边最后一个3前再添×号，②变为：
33×3=3，两边再除以3，即为：
33=1。显然再添÷号。
解3÷3×3×3=9
例２在下列5个5之间，添上适当的运算符号——＋、－、×、÷和（），使得下面等式
成立。
55555=10①
分析我们从①的后边逐步向前边考虑，最后一个5前面如果要添运算符号的话，只可能是
＋、－、×、÷运算符号中的一个。
如果是加号，①式变为
5555＋5=10②
两边减5，即变为
5555=5③
再重复上面的想法，如果③左边最后一个5前面又是加号，则③式变为555=0。这
等式很容易得出：
（5－5）×5=0或（5－5）÷5=0或5×（5－5）=0
如果③式左边最后一个5前面是减号，③式变为555=10，这式子没有解。
如果③式左边最后一个5前面是乘号或除号，也没有解。
如果①式最后一个5前面是减号、乘号或除号，可采用上面的方法进行同样的分析。
解（5－5）×5＋5＋5=10
（5－5）÷5＋5＋5=10
5×（5－5）＋5＋5=10
（5×5＋5×5）÷5=10
（5÷5＋5÷5）×5=10
等等。
说明上面的分析方法，是从最后一个数字开始向前推想，所以我们可以把这种方法叫逆推
法，使用时一定要考虑全面、周到。
例３在下列六个数的中间添上适当的运算符号，使得下面的算式成立：965278314
0=1986。
分析这题如果采用逆推法，那肯定会相当的麻烦，我们必须另行考虑，先找一个与1986
比较接近的数，如965×2=1930，这个数比1986小56，这样原问题就转化为：能否用
剩下的六个数经过适当的四则运算得出一个等于56的算式呢？然后作适当的增加或减少，
使算式成立，增加或减小的部分也采用上述的方法，我们也给它取个名，叫凑数法。
解965×2＋7×8＋314×0=1986
例４在下列数码的某些相邻地方，只添运算符号＋和－，使得等式成立：
987654321=20
分析我们从头开始想，
98＋7=105105－65=40
这一来问题转化我用4321凑出个20来，而21－3＋3=20。
解98＋7－65＋4－3－21=20
例５有2、3、4、6四个数字，请你选择合适的运算符号，最少组成五个算式，使它们都等
于24。
解2×6＋3×4=24；
4×6÷（3－2）=24；
3×6＋4＋2=24；
4×2×（6－3）=24；
3×（6－2＋4）=24
［思路技巧］
在数字之间添加运算符号使，可采用逆推法或凑数法解答。
［习题精选］
１．在3个7中间的□里添入适当的运算符号和括号，使等式成立。
7□7□7=27□7□7=67□7□7=8
7□7□7=77□7□7=427□7□7=56
２．在下面各数之间填上“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（）”使等式成立。
⑴快乐的1989年：
44444=144444=9
44444=844444=9
⑵庆祝国庆四十周年：
123456=40234561=40
345612=40456123=40
561234=40612345=40
⑶在下面○里填上和左边对应地方不同的运算符号，使两边的计算结果相等。
6＋2＋4=6○2○48＋2＋3=8○2○312－2－2=12○2○2
18－9－3=18○9○31×3＋2×4=1○3○2○4
⑷下面每一道小题的□里都要填同一个数字。
□＋□＜□×□□＋□＞□×□
□＋□＝□×□□＋□＞□÷□
３．在（）中填上＋、－、×、÷符号使等式成立。
1（）2（）3=1
1（）2（）3（）4=9
1（）2（）3（）4（）5=8
1（）2（）3（）4（）5（）6=9
４．○内应填上什么运算符号？□内应填上什么数？
５．只填一个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。
123456789=100
６．只填两个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。
123456789=100
７．只填一个乘号和七个加号于下列9个数之间，使等式成立。
123456789=100
８．下面是几组数码，逆能不能将它们分别拼成数，并用运算符号排成一道算式题，使各题
的得数均等于1995？
例如，“5、5、7、7”这组数得：5×5×57=1995
⑴3、3、6、6、6
⑵3、3、3、3、3、3、3、3
找规律填数
［知识要点］
１．数列填数；
２．阵图填数。
［范例解析］
例1找规律填出后面三个数：
⑴3，4，6，9，13，18，______，______，______；
⑵56，61，47，44，______，______，______；
⑶3，9，27，______，______，______；
⑷7，14，21，28，______，______，______；
⑸0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。
解⑴这一列数，从第二个数开始，逐渐增大，那它是按什么规律变化的呢？我们仔细观
察，第二个数4比第一个数3大1；第三个数比第二个数大2；第四个数比第三个数大3；
第五个数比第四个数大4；第六个数比第五个数大5。如图3-1所示。
即是按照加1、加2、加3、加4、??的规律加下去。因此，应填24，31，39。
⑵这一列数正好⑴相反，它们是逐渐减少。其中，第二个数51比第一个数56少5；第
三个数又比第二个数少4；第四个数比第三个数少3。如图3-2所示。
即是按照减5、减4、减3、??的规律减下去。因此，应填42，41，40。
⑶这一列数中，第二个数是第一个数的3倍；第三个数又是第二个数的3倍，如图3-3
所示。
图3-3
即是按照前一个数扩大3倍，得后一个数的规律算下去。因此，应填81，243，729。
⑷我们观察发现，这一列数中的第二个数是第一个数的2倍，第三个数又是第一个
数的3倍，第四个数是第一个数的4倍，如图3-4所示。
即是按照把第一个数扩大2倍、3倍、4倍??的规律酸下去因此，应填35，42，49。
⑸这一列数的变化规律较复杂一点，要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺序，
即从8起往左看，可看出：8是3＋5的和，5又是它的前两个数2＋3的和，3则是1＋2
的和，2是1＋1的和，1是0＋1的和。如图3-5所示。
即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此，应填13，21，34。
说明在一列数中填数，关键是要找出这列数中各数之间的变化规律，按规律酸下去，才能
正确填才其中的缺数。
例2你能把空缺的数填出来吗？
2836442
分析我们发现，这已知的7个数字之间找不出它们的变化规律。因此，我们应该变换观察
的角度，即分单双位上的数考虑，这就将一列数分才人下的两列数：
234？
前一列数是按照后一个数是前一个数加1的规律
算下去，因此，空缺数应填5。
说明有时一列数是由两个有规律的数串混合组成的。在填空缺数时，应注意这一点。
例3找规律，很快把图3-6中小圆圈里的数填出来。
分析首先观察第一横行和第二横行，发现第二横行的第二、第三、第四个数都是它的第一
个数3与第一横行的第二、第三、第四个数的乘积。即3×2=6，3×3=9，3×5=15。
又第三横行的第四个数35正好是7×5的积。这就是图中数字之间的规律，按照这一规律，
如图3-7所示，缺数应填8，20，14，21。
例4图3-8中是一个数字金字塔，青你先根据上下数字间的联系找出它们的规律，然后填出
塔中的方框的数字。
分析从上往下看，第一行是一个数2；第二行是两个数2、2；第三行是三个数2、4、2；
则4应看作是第二行的2×2的积，这是因为第四行的8正好是第三行的2×4的积。这就
8642
是它的变化规律，如图3-9所示。图中画上“\/”表示尖端所指的数字是上一行两个数
的积。
因此，方框中应填8、16、64（见图3-9）。
［思路技巧］
找规律填数是一类有趣的问题，解决这类问题常常要考虑运用观察、试探、枚举、归纳等
研究问题的手段，寻找已知的数上下、左右及前后之间的相互联系和规律，推导出未知的数。
［习题精选］
１．先观察下面每一行数的排列有什么规律，然后在（）里填上一个适当的数：
⑴1，4，7，10，（），16，19；
⑵1，1，2，3，5，8，（），21，34；
⑶1，4，9，16，25，36，（），64，81；
⑷12，15，18，（），24，27，（），33；
⑸6，12，（），24，（），（），42，48；
⑹95，90，（），80，75，（），（），60；
⑺21，24，27，（），（）；
⑻50，48，46，（），（）。图3-10
２．按照图3-10中数字排列规律，在空格里填上适当的数。
３．在图3-11中，依照第一个三角形里三个数之间的关系，在其他三角形的空格里填上适当
的数。
４．不用乘法，找出规律后，就可以按规律把积填上去。
12345
22345
33345
55555
1×99=992×99=1983×99=2974×99=3965×99=495
6×99=7×99=8×99=9×99=
５．找规律填空缺的数。
01361015？？
６．如图3-12，在金字塔图中每一块砖上都有一个数字，请你根
据上下数字之间的联系，找出它们的规律，然后填在空砖上。
７．根据叶子中数字的计算规律，填出花中所空的数。
８．下面两题中的数去掉其中的一个数，其余的都是按规律排列的，请你去掉这个数。
⑴5，10，15，17，20；⑵72，70，68，66，36。
９．请按图3-14中的规律在空白处填上数。
奇怪的算式
根据推理的方法来确定算式中的数字，分加法算式谜、减法算式谜、乘法算式谜几种。
［范例解析］
例1填出方框里的数。
分析9加几个位上是3？十位上哪两个数相加得8。
解
等。
例2填出右边算式方框里的数。
分析18减几得9？十位上2＋4=6，6＋1=7。
解
例3右面的算式中，只有五个数字已些出，补上其他的数字：
分析先填哪一个呢？做这一类题目要善于发现问题的突破口。从百
位进位来看，和的千位数只能是1，从十位相加来看，进位到百位，
也只能进1。因此□2□的百位是9，和的百位是0。通过上面的分
析，就找到了这道题目的突破口。
再从15－7－6=2，11－2－1=8，得出算式：
例4在下面的加法算式中，每个汉字代表一个数字，相同的汉字代表的数字相同，求这个算
式：
分析千位上的“边”是进位得来，所以“边”=1，其次，从个位知道，“看”＋“看”的
末位数字还是“看”，所以“看”=0，因此推出：
想想看=想×110
算算看=算×110
所以和数“边算边看”是11的倍数，因而“算”=2。进而推出：想想=121-22=99。
所求的算式是990＋220=1210。
例5下面的算式由0，1，??，9十个数字组成，已写出三个数字，补上其他数字。
分析这一算式有十个数字，分别是0，1，??，9这十个数字，因此这个算式中所有数字
各不相同，解题时要充分利用着一点，为了说明的方便，用英文字母A、B、C、D、E、F
来表示要填的数字，很明显，A=1。
解题的突破口是确定B，B可以是7或9，因为F至少是3，所以
十位相加后一定要进位，如果B是9，C将是2，就出现数字的重复，
因此，B只能是7，C是0。
现在还没有用上的数字是9，6，5，3，其中只有6是双数，因
此，个位上D和E必定是单数，只能是D=9，E=3，因此也确定了F=6，这个算式
如右所示。
例6如图是一个动物式子，不同的动物代表不同的数字，请你想一想，算一算，这些动物各
代表哪些数字？
图3-15
分析这个式子从哪里下手解答呢？根据两个一位数相加和只能满十的特点，首先，推出
公鸡等于“1”。然后，又根据两熊猫相加，和仍然是熊猫，推出熊猫只能等于“0”。讲
熊猫等于0，代入式中，又根据公鸡等于“1”推出白兔等于“5”。将白兔等于5代入式
中，推出松鼠等于2。
这个算式是：
说明奇怪的算式，实际上就是“算式之谜：”，也称“趣味算式问题”。它是一种猜谜游
戏，故有较强的趣味性，可以锻炼思维能力。
既然趣味算式问题是一种猜谜游戏，“凑”就成了它的当然方法之一，而且在某些情
况下，“凑”还是一种有效的方法。
例7填出右边算式方框里的数。
分析因为积的个位数字是5，所以被乘数的个位数字只能是5；又
积是千位数，且最高位是数字1，所以被乘数百位上的数字只能是2。
解
［思路技巧］
解算式谜这类题，要认真观察算式，抓住问题的突破口。
［习题精选］
１．在方框里填上适当的数，使下列各式成立。
２．在圆圈和方框里填上适当的数，使下列等式成立（圆圈和方框分别代表两个不同的数）。
３．算一算，下列图形各表示什么数。
⑴□＋△=26△=（）△－5=3□=（）
⑵
⑶○－□=4○=3○＋□=14□=（）
⑷
４．在方框里填上适当的数。
５．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
□÷7=□??1□÷6=□??5□÷5=□??4
６．写算式（能写几道就写几道）。
□÷□=2□÷□=5□÷□=7□÷□=9
７．在下面算式的圆圈里填上合适的运算符号，方框里填上合适的数。你能写出几种填法？
（每次填的运算符号不要完全相同）
8○□○□=21。
８．数字还原。
下面的竖式，是用△、○、□、?、◎这样的图形表示0至9中的数字。想一想，这
五个图形各代表几呢？
⑴⑵
⑶◎＋◎=◎×◎◎=（）
９．在下面竖式中的方格里填上适当的数。
10．请将下面竖式里的字换成数字，使竖式成立。
11．巧填竖式。
12．题中每一个字母或字都代表一个数，请想一想它们各代表什么数字，算式才能成立？
调整法趣谈
［知识要点］
１．调整法的意义。
我们看下面的点子图：
●●●●●●●
图3-16
它一共有二组，一组有5个点子，另一组有两个点子，图中一共有多少个点子？
算式：5＋2=7（个）。现在问：怎样改变点子图，来表示算式2＋5呢？我们可用交换
点子位置或移动点子位置来改变。如图所示：
这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程，我们较做调整法。
２．调整法的用途，我们通过举例来说明。
［范例解析］
例1右面正方形方格中的数字，怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等？
分析我们可从图中观察到：竖行三数的和都是6，它们相等，打上“√”号，而横行三数
的和都不相等，因此，要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图3-19箭头所示
进行交换调整，问题就得到解决。
说明凡是符合条件的横行或竖行打上“√”，可使问题一目了然，方便调整。
例2图中有“＋”、“－”、“×”、“÷”四种运算符号。移动这些符号，使每行每列的四种符
号不相同。
分析通过观察，发现3-20中只有从左数第二列符号与题目要求不同，因此我们先考虑列
的情况，第一列多“＋”号，缺“÷”号，而第三列多“÷”号缺“＋”，如下图交换后，
把符合条件的行与列打上“√”。
经过第一次交换后，图3-21中只有第一行和第二行以及第三列和第四列不符合条
件，而第三列多“×”号，缺“－”号，第四列多“－”号，缺“×”号，只要再按如
图3-22交换就完全符合条件。
说明较复杂的方阵游戏，多调整几次，是可解决问题的，调整中不想走弯路，这就要靠智
慧了。
例3把1~7这七个数填在图3-23中的小圆圈中，使每一
个圆周上四个数字的和都等于17。
分析此题有两种做法。
第一种做法：开始在小圆圈里任填1~7这七个数，
并且两个大圆周上的四个数的和都不等于17。如图3-24的填法。
我们观察到，只要首先将2与7交换，就能使右边大圆周上四个数字的和等于17。这
时，左边大圆周上四个数的和是：1＋3＋7＋4=15比17少2，要使右边圆周上的四个数
字的和不变，只要4与6交换即可。
第二种做法：首先在1~7这7个数字中选四个数字，
并且四个数的和等于17。例如选（1＋3＋6＋7=17）1，
3，6，7四数填在一个圆周上，其他三数任填在另一圆
周上的小圆圈里。如果另一圆周上四个数字之和不等于
17，只要按前面调整的方法，只经过一此调整就行了。
如图3-25所示。
［思路技巧］
调整不是拼凑，它是充分利用我们已有的知识技能，充分发挥我们的观察能力，有计
划、有目的的进行解题的重要手段。
［习题精选］
１．要使图3-26中每横行、每竖行都有四个不同的数，你能做到吗？
２．图3-27中每个五边形上五个数的和都是60，请你调整一下数的位置，使每个五边形上五
个数的和都等于61。
３．把1-6六个数填在图3-28中的小圆圈中，使每一个大圆上的三个数相加的和为12。
４．把10、20、30、40、50填在图3-29中的圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。
５．在图3-30中填上适当的数，使每横行、每竖行的三个数的和等于15。如果你所填的数不
是1-9这九个数，请将它调整调整成1-9这九个数。
６．在3-31中小圆圈里填上1、2、3、4、5、6这六个数，使每条线上3个小圆圈里的素的
和都是9、10、11、12。
７．把1-12这十二个数分别填入图3-32中的小圆圈里，使每一行四个数相加的
和都是30。
８．移动图3-33中的数字，使第二横行的三位数是第一横行三位数的2倍，第
三横行的三位数是第一横行三位数的3倍。图3-33
９．停车场中有8辆宣传车，如图3-34。其中5两没有对号停车。你能不能在车辆不出场的
情况下，帮他们按号停好车？
简单的变式运算
［知识要点］
１．用火柴棒组成简单的数字及运算符号；
２．用“去”、“添”、“移”进行变式游戏。
［范例解析］
例1请回答，一般可用火柴棒组成哪些数字和数学符号。
123
456
789
解可组成四个数字：
组成四个符号：
例2你能说出，例1中火柴棒组成的数字和符号，通过“去”、“添”、“移”火柴棒有哪些变
化？
解去：变为，变为，变为或，变为，变为等；
添：它与去反之，如可变为，变为或；
移：变为（反之可变为，下同），变为，变为，变为，
变为等。
例3移动一根火柴，使下面等式成立：
分析只能移动一根火柴，故只能在式子的左边考虑移法，由去一可得，将第二个
拿一根移到的前面，就变为。而变为。
解
例4移动一根火柴，使下面等式成立：
解
例5移动两根火柴使等式成立：
解
例6用15根火柴组成四个不同的两位数，并且这四个两位数的和为111。
分析组成最大的两位数为74，则有
111-74=37
而37又是11＋12＋14的和。
另外，四个1，一个2，二个4，一个7正好由15根火柴组成。
解四个两位数为，，，；并且11＋12＋14＋74=111。
［思路技巧］
移动火柴棒可以加在数字间，也可以加在数前或数后。
［习题精选］
１．把13根火柴棒分别分成左右两堆，有几种分法？
２．只要移动一根火柴，就能使下列式子正确：
⑴
⑵
⑶
３．移动一根火柴，使下式成立：
４．移动一根火柴，使下式成立：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
５．移动两根火柴使等式成立：
⑴
⑵
６．移动两根火柴使等式成立：
⑴
⑵
７．用15根火柴组成三个不同的三位数，且使它们百位上数字和等于十位上数字和，等于个
位上数字和。
复杂的变式游戏
［知识要点］
１．用火柴棒组成计算器显示数字;
２．用“去”、“添”、“移”进行组数游戏和变式游戏。
［范例解析］
例1如“”是由4根火柴棒组成的计算器显示的数字，你能用不同的火柴棒组成0~9各
个数字吗？
解二根四根五根六根七根
图4-3
例2用20根火柴组成以下各数：
⑴组成一个三位数，最大的是_______，最小的是_______；
⑵组成一个四位数，最大的是_______，最小的是_______。
分析三位数中最大的是999，但组成一个9只需要6根火柴，三个9共用18根火柴，按
题目要求，还有两根火柴没用，要加火柴，就要变数，8是用七根火柴组成，故有两个
9要变成8，要保持最大，只能是十位和个位上两个9变成8，因此，最大是988，同样
的道理，可得出三位数中最小是688，四位数中最大是9991，最小是1000。
解⑴最大是：（20根火柴）
最小是：（20根火柴）
⑵由解⑴的分析，可得出⑵的结果如下：
最大是：（20根火柴）
最小是：（20根火柴）
说明此例是组数游戏，完成这样的游戏，不但要求学生掌握数字、数位、位数及比较数
的大小方法等数学基础知识和基本技能，而且还要求认真分析、合理计算、严密推理、
灵活摆布、否则是无法下手的。
在游戏时，可以改变所给火柴根数，改变组数要求。
例3移动两根火柴使等式成立：
分析1985与61是绝对不相等的，要使它们成等式，只有把一边去掉火柴二根，移到适
当的位置变成运算符号，成一个等式。我们观察发现，19-8-5=6，正好将右边的“1”
（二根火柴）去掉，移到左边的8前，5前成“—”号。
解
例4移动一根、二根、三根、四根火柴，使等式成立，各有多少种移法？
解移一根：
移二根：
移三根：
移四根：
例5移动一根火柴，使下面的算式分别等于11、14、17、20、23、25、31、33、34。
分析这个问题，要掌握组数形式的变化规律。如移一根火柴就变成；去一根火
柴就可变成、、；添一根火柴可变成或，移一根火柴就变成。掌握这
一规律，我们只要采用“去”、“添”、“移”，动一根火柴，就可得出题中要求的结果来。
解
分析掌握组数变化规律是解决这类问题的关键。
［思路技巧］
要注意运用“去”、“添”、“移”进行数组、变式游戏。在游戏时，要灵活摆布，掌握
数组的变化规律，并可以改变火柴根数及组数要求。
［习题精选］
１．移动一根火柴，使下面的等式成立：
２．移动一根、两根、三根、四根火柴，使下面各式成立：
⑴
⑵
３．移动两根火柴，使下面等式仍然成立，至少想出三种不同的等式：
４．移动一根火柴，使下面的算式分别等于31、34、37、40、43、45、51、54：
５．用20根火柴组成以下各数：
⑴组成一个五位数，最大的是______，最小的是______；
⑵组成一个六位数，最大的是______，最小的是______。
６．请移动图中两根火柴，使下面两个数相等。
图形游戏
［知识要点］
１．移动火柴棒，改变图形；
２．用火柴棒组图。
［范例解析］
例1图4-4是由9根火柴摆成的三个正三角形，请移动其中一个三角形，使图
形中有5个正三角形。
分析三根火柴可组成一个正三角形，将每边加一根火柴，就可组成每边由二
根火柴组成的正三角形，这时只要移动一个三角形就可组成一个大的正三角
形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。
解移动一个正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。
例2图4-6是由12根火柴组成的“品”状的三个正方形，现在请你移动其中一个正方形的
位置，使图形中出现七个正方形。
分析由三变七，必有一个由一变四，这是可能的。
解移动一个成图4-7即可。
说明移动部分图形重组图形，一般是给定一个已排好的图形，要求移动其中某一部分，
达到一个新的要求。这里面渗透了图形平移的观点。在图形平移时，有时会出现重合的
边，就要从重合的地方取出一根或几根火柴，又到别处添补。
例3图4-8中是由24根火柴摆成的图，图内有7个正方形（三个大的、四个小的），请你移
动四根火柴，使图中只含有长方形，而不含任何其他图形（图形要封闭）。
解如图4-9所示。
例4图4-10中是由十二根火柴摆成的正方形，它共含有五个正方形。请你只移动两根火柴，
使图形中分别含有六个正方形和七个正方形。
解如图4-11所示。
例5用20根火柴摆成一个长方形或正方形，摆出的这些图形，周长相等吗？
解摆成的长方形或正方形如图4-12。
这些图形的周长都是相等的。
例6用12根火柴摆成一个直角三角形。怎样摆法？如果用24根火柴怎样摆法？
解12根的摆法如图4-13所示。
24根的摆法如图4-14所示。
例7下图是用4根火柴摆成的“抓住一只苍蝇的苍蝇拍”。请你只移动两根火柴，将“苍蝇
拍”移到“苍蝇”旁边（“苍蝇”不准动）。
解
［思路技巧］
火柴棒游戏种类不少，内容丰富。是培养学生动脑、动手的一项好的活动。“去”、“添”、
“移”是解决这类问题的关键。
［习题精选］
１．用12根火柴组成5个正方形，如图4-16。
⑴请你拿掉2根火柴，使留下的图形正好是2个正方形；
⑵移动3根火柴，使它变成3个正方形且没有多余的火柴。
２．图4-17是由24根火柴棒组成的9个小正方形，请你想一想，怎样取走8根火柴，正好
变成两个正方形。
３．图4-18中六角形中有三朵花，用火柴将六角形分割成形状相同的三部分，每一部分中有
一朵花，最少要用几根火柴？
４．请你用8根火柴摆出3个正方形。
５．图4-19是用5根火柴摆成的，你能用5根火柴摆出不同的图样吗？
６．图4-20是由10根火柴摆成的一座山形图案，请你只移动三根火柴，使“山顶”向下。
７．用12根火柴摆出四个正方形。
８．从图4-21中，拿走三根火柴，使它成为三个正方形。
９．用16根火柴摆成五和大小相同的正方形。
10．一头牛正朝前走，如图4-22所示，请移动两根火柴，让它向后看。
11．向阳屋，太阳出来它朝东，太阳下山它朝西。请移动两根火柴，把它换个方向。如图4-23。
怎样数图形的个数
［知识要点］
１．怎样数一条直线上线段的条数？
一条线上有n条独立线段，我们将它们编号为1，2，3，?，n，则这条直线上
所有线段的条数是：
1＋2＋3＋?＋n
２．用数线段条数的方法，数角、三角形、长方形和立方体的个数。
［范例解析］
例1数出图5-1中各条线上线段的总条数。
⑴└──┴──┴──┘
⑵└─┴─┴─┴─┴─┴─┘
⑶└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
图5-1
分析⑴图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图5-2：
123
└──┴──┴──┘
图5-2
现在，我们这样来数，其中
单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条；
由两条独立线段合并成一条线段的有：（1，2）、（2，3）这两条；
由三条独立线段合并成一条线段的有：（1，2，3）这一条。
由3＋2＋1=6（条），我们数得图中有6条线段，他趣的是，这个得数6正是我们
所编号码1、2、3这三个连续数的和。这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的
结果。
⑵我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图5-3：
123456
└─┴─┴─┴─┴─┴─┘
图5-3
单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条；
两条合并成一条有：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）一共5条；
三条并成一条的有：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）一共有4条；
四条并成一条的有：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）一共有3条；
五条并成一条的有：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）一共有2条；
六条并成一条的有：（1，2，3，4，5、6）只1条。
总条数也正好是编号的六和连续数的和，即1＋2＋3＋4＋5＋621（条）。
⑶将图5-4中的单独线段进行编号如下：
123456789
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
图5-4
单独线段：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、⑺、⑻、⑼一共9条；
两合一线段：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）、（8，9）一
共8条；
三合一线段：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）、（5，6，7）、（6，7，8）、
（7，8，9）一共有7条；
四合一线段：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）、（4，5，6，7）、（5，6，7，
8）、（6，7，8，9）一共有6条；
五合一线段：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）、（3，4，5，6，7）、（4，5，6，7，8）、
（5，6，7，8，9）一共有5条；
六合一线段：（1，2，3，4，5，6）、（2，3，4，5，6，7）、（3，4，5，6，7，8）、（4，5，
6，7，8，9）一共有4条；
七合一线段：（1，2，3，4，5，6，7）、（2，3，4，5，6，7，8）、（3，4，5，6，7，8，9）
一共有3条；
八合一线段：（1，2，3，4，5，6，7，8）、（2，3，4，5，6，7，8，9）一共有2条；
九合一线段：（1，2，3，4，5、6，7，8，9）只1条。
所有线段的总和也正好是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45（条）
说明从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要
的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独
立线段就有几个连续数）。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，
不漏掉。
运用这种方法，我们还可数其他的图形的个数。
例2数一数，图5-5中一共有多少个三角形？
解将图中单独三角形1~5编号，一共有三角形是：
1＋2＋3＋4＋5=15（个）。
例3图5-6中有多少个角，你会数吗？
解将单独的角按1~7编号，可计算出共有角是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=28（个）。
例4数出图5-7中长方形的个数。
解将图5-7中独立的长方形按1~12编号，可计算出长方形的个数是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋＋7＋8＋9＋10＋11＋12=78（个）。
例5数出图5-8中长方形的个数。
解我们将原图分类，一类一类的数，最后求总数。（每一类用阴影表示）
总共是：6×3=18（个）。
说明我们也可以这样数，长方形的长和宽可看成是两条线段，长有3太哦独立线段，宽有
2条独立线段，总数是：
（1＋2＋3）×（1＋2）=18（个）。
例6数出图5-10中长方体的个数。
分析此题虽是数长方体的个数，但它可转化成数长方形的个数来解决，因为长方体的表面
就是一个长方形，这种转化的可能的。仿例5，同样可将问题分成三
类来数。
第一类有：4＋3＋2＋1=10（个），
第二类有：4＋3＋2＋1=10（个），
第三类有：4＋3＋2＋1=10（个），
总共有：10×3=30（个）。
例7请你数出图5-11中三角形的个数。
解很明显，我们可将问题分成如图5-12的三类来研究：
其中每一类都是：1＋2＋3=6（个）。
总共是：6×3=18（个）。
［思路技巧］
数线段的重要规律是“单条线上线段的总数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条
独立线段就有几个林许数）。这个规律，可以扩展到数图形的数。
［习题精选］
１．数出图5-13中各线上线段的条数：
⑴└─┴─┴─┴─┴─┘
⑵└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
图5-13
２．数一数图5-14交叉线上的线段共有几条？
３．在图5-15的扇子中的角共有多少个？
４．请你数一数图5-16中有多少个角？
５．如图5-17，地上有六根木桩，每两根之间牵一线，一共要牵多少根？
６．数一数图5-18中三角形的个数。
７．数出图5-19中长方形的个数。
８．数一数，图5-20中有多少个长方体？
９．数一数，图5-21中有多少个正方形？多少个长方形？多少个三角形？
图形的识别与划分
［知识要点］
１．将正方形划分成小正方形块或直角三角形块；
２．将规则图形划分成正方形或长方形与三角形块；
３．识别图形的形状和大小。
［范例解析］
例1在图5-22中哪个图形占的方格数最多？
分析图中共有五个图形，可分成两类：
第一类是（1）和（5）图，它们占全是小方格，且都是6个小方格；
第二类是图中（2）、（3）、（4），我们可将每个图形分解开来看。如（2）图，我们可分
解成下面三块（如图5-23）：左右两块一样，都是四小方格，阴影占一半，即2小
方格，中间一块是三小方格，阴影占2小方格，故阴影一共占6小方格，即原图（2）
占6小方格。用同样的方法，可数出（3）和（4）做占小方格数。
解图5-23中五个图形所占方格数都是一样多。
例2图5-24中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？
分析回答这个问题，主要的方法是将图形划分，看它能划分成多少个阴影三角形。
解如图5-25所示。
例3图5-26中每个图形都由5个小正方形组成，把这五个图形拼成一个大正方形，并标出
每个图形的位置。
分析已知的五个图形，每个由五个小正方形组成，它们一共有：
5×5=25个小正方形。
我们要是把每个图形都剪成5个小正方形，这25个小正方形可拼成如图5-27所示
的一个大正方形，并且它的每边都占五个小正方形。我们了解这一点，就可拼出一个大正
方形来。
解图5-28是它的拼法。
例4在图5-29这三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？
分析要看出这三个图形中的阴影部分的面积是否相等，这是比较困难的。由于这三个图形
都是在相同的正方形中，故可将其分别划分成一样多的小正方形，就可看出它们的结果。
解首先进行如图5-30的划分，这三个图形都可分成16个小正方形，我们看出，各图的阴
影部分都是一个大正方形面积减去四个小正方形面积，所以它们的面积相等。
［思路技巧］
解决这类问题，关键是将正方形正确的划分成小正方形块或直角三角形；将规则图形划分
成正方形块或长方形块与三角形块。
［习题精选］
１．在图5-31中哪些是长方形？
２．比较图5-32中每个图形的周长，哪一个图形的周长小些？
３．学校运动场上有5个排球，如图5-33所示，请你画一个正方形，把这5个
排球分开。
４．将图5-34的五个图形拼成一个大正方形。
５．图5-35的三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？
６．在下面的点子方格图中，画出三个占6个小方格的三角形（形状要不同）。
７．图5-36中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？
怎样剪拼图形
［知识要点］
剪拼图形，可培养读者动脑、动手的能力，以及识别图形和思维想象能力，这是一种有趣
的游戏。这里只介绍较简单的一刀剪图和剪拼图形的一些方法与技巧。
［范例解析］
例1如图5-37，将直角三角形剪一刀，拼成一个长方形。
分析我们用一个同样大小的三角形与原来的三角形拼成一个长方形。然后可将这个长方形
按图5-38中虚线进行对折（有两种对折方法）。
下面分两种情况来研究：
第一种情况，如图5-39的对折法，图中①和②一样大，按虚线剪开，将①放在②的位
置，因为②和③是一个长方形，所以①和③拼成一个长方形。
第二种情况，如图5-40，由于①和②一样大，所以①和③同样拼成一个长方形。
例2将例1中直角三角形剪一刀，拼成一样大的长方形。
解法1我们还是将三角形按例1的方法拼成一个长方形来研究。
将长方形按同一方向连续对折两次，如图5-41所示，我们可以看出，图中①和⑥的大
小一样，②和⑤一样大。我们只要将①放在⑥的位置，②放在⑤的位置，就可拼成两个长
方形，并且它们是一样大的。下面的问题是怎样将这个直角三角形折纸后剪一刀就将它分
成①、②、③、④四块呢？
要想一刀剪出四块，关键的问题是要图5-41中三条虚线重叠在一条直线上，这种重叠，
只有靠折纸来完成。下面5-42就是折纸重叠过程的示意图。
这时，从示意图可看出，三条虚线a、b、c经过折叠后重叠在一条直线上，我们沿b
（a）（c）剪一刀，可得①、②、③、④四块，拼成两个大小一样的长方形。
解法2如图5-43所示，我们将长方形十字交叉对折，显然，①和③能拼成一个与②一样
大小的长方形。现在，我们来看如何折纸，图5-44是折叠进行过程的示意图：
沿（a）b这条重叠虚线剪一刀，就得到①、②、③三块，将①和③拼成与②一样大
小的两个长方形。
说明一个问题中的剪拼方法可能有多种，如例2就是两种剪法，一
种剪成四块，另一种剪成三块，我们在解决问题时，应寻找“最少
块数”是最理想的做法。
例3将一张正方形的纸剪一刀，得一个如图5-45所示的“十”字形。
解一个“十”字形有十二条边，其中有八条边在正方形内，一刀剪
出一个“十”字形，关键是考虑怎样折纸，才能使这八边重叠在一条直线上，这样剪一刀
就成功了。我们按下面图5-46所示折叠：
这时，我们沿b剪一刀后展开即是一个“是”字形。
例4将图5-47中“51”两字剪一刀，拼成一个正方形。
解先把“51”两字画上小方格，若要拼成一个正方形，它一定是一个4×4的正方形（如
图5-48）。
我们再考虑怎样剪。将“5”字沿a剪开，可拼成图5-49，再将“1”字沿b剪一刀，拼
在图5-49的空位置上，就拼成一个正方形。因此，我们将“51”两字中的虚线a和b重
叠剪一刀，就得到图5-50中的1、2、3、4四块，这四块可拼成正方形（图5-51）。
例5把图5-52中每个图剪成三块后各拼成个正方形。
解这个问题没强调一刀剪，只要能正确划分所剪块数（要求只能是三块）能拼成正方形即
可，两图（5-53）按虚线所示划分剪开即可。
［思路技巧］
剪拼图形的问题，主要是抓住两点：
首先要确定图形的分块，怎样分块，才能拼成要求的图形形状，这就要掌握好正确的划分。
其次，如果是一刀剪问题，还要进一步考虑怎样重叠，才能剪出所分块数。
［习题精选］
１．把图5-54中的图形剪成两块后拼成一个正方形。
２．把图5-55剪一刀，分成四个相同的三角形。
３．将图5-56中正方形剪一刀，拼成两个相同的正方形。
４．将图5-57中的“七一”两字剪一刀，拼成一个正方形。
５．一张正方形的纸，请你剪一刀，使正方形中央出现一个空心正方形，它的边长是原正方
形边长的一半。
６．将一张正方形的纸剪一刀，将它拼成一大二小三个正方形，且两个小正方形的面积和等
于大的一个正方形的面积。
７．把图5-58中每个图形剪成三块后各拼成一个正方形。
解应用题的综合法与分析法
［知识要点］
１．一步计算的加（减）应用题与两不计算的加减应用题之间的关系。
⑴将两道有联系的一步计算的应用题合成一道两步计算的复合应用题；⑵将一道两
步计算的加减应用题分解成两道一步计算的应用题；⑶将一道一步计算的应用题，改
变其中的某个条件（已知条件或问题），使其变成一道两步计算的应用题。
２．用“分析法”和“综合法”解两步计算的加减应用题。
［范例解析］
某些有联系的两道简单应用题，可以合并成一道两步计算的应用题。
例1⑴学校买来红纸382张，绿纸295张，一共买回多少张纸？
⑵学校买回红纸和绿纸677张，做花用去488张，还剩多少张？
分析第一题要求“一共买回多少张纸？”就是求382张红纸和295张绿纸的和。
算式是：382＋295=677（张）
第二题要求“还剩多少张？”就得从红、绿纸的总数中减去“用去了488张”。
算式是：677－488=189（张）
可以看出，第一题中所求的问题，正好是第二题中的一个条件，于是一变，把这
两个有的简单应用题变成一个两步计算的应用题
⑶学校买回红纸382张，绿纸295张，做花用去488张，还剩多少张？
分析要求“还剩多少张？”必须先求出“一共买回多少张纸？”这个中间隐含的问题，而
这个中间隐含的问题可以根据“买来红纸382张”和“绿纸295张”这两个条件来求。求
出了一共买来多少张纸，又已知“做花用去了488张”就可以求“还剩多少张纸？”
算式是：382＋295－488
=677－488
=189（张）
一道两步计算的应用题，也可以分解成两个有联系的简单应用题。
例2一条公路长1280米，工程队上午修了370米，下午修了392米，还剩多少米没有修？
分析根据“上午修了370米”和“下午修了392米”，可以求修了多少米，又已知“一条
公路长1280米”，就可以求“还剩多少米没有修？”
算式是：1280－（370＋392）
=1280－762
=518（张）
上题一变，把这个两步计算的应用题分解成了两个有联系的简单应用题。
⑴一个工程队上午修路370，下午修路392米，一共修路多少米？
⑵一条公路长1280米，工程队修了762米，还剩多少米没修？
第一题中要求的问题，正是第二题中的一个条件。
一道简单的应用题只要变换一个条件，就可以使它变成一道两步计算的复合应用题。
例3饲养组有白兔270只，灰兔185只，一共有多少只兔子？
分析这是一道简单的应用题，只需要变换“白兔270只”和“灰兔185只”这两个条件中
的任何一个条件就可以使它变成一道两步计算应用题。
算式是：270＋（270－65）
⑵饲养组的白兔比灰兔多65只，灰兔有185只，一共有多少只兔？
算式是：185＋（185＋65）
⑶饲养组有白兔270只，比灰兔多65只，一共有多少只兔子？
算式是：270＋（270－65）
⑷饲养组有灰兔185只，比白兔少65只，一共有多少只兔？
算式是：185＋（185＋65）
以上四题都是已知一种兔的只数，另一种兔的只数没有直接告诉我们，得先求出另一种
兔的只数，才能求一共有兔多少只？
有些简单应用题，可以变换它的问题使其变成两步计算的应用题。
例4玩具店有卡车28辆，汽车比卡车多109辆，汽车有多少辆？
分析汽车除了有与卡车同样多的28辆外，还多109辆。
算式是：28＋109=137（辆）
把“汽车有多少辆？”这个问题变成“汽车卡车一共有多少辆？”这样使上面的一道简
单应用题变成下面的两步计算的应用题。
玩具店有卡车28辆，汽车比卡车多109辆，卡车和汽车一共有多少辆？
画线段图6-1。
算式是：28＋（28＋109）
=28＋137
=165（辆）
例5牧马场有125匹红马，白马比红马少38匹，黑马比白马多45匹，黑马有多少匹？
分析首先根据已知条件：有125匹红马，白马比红马少38匹，可求出白马的匹数。再根
据白马的匹数和黑马比白马多45匹，即可求出黑马的匹数。
解125－38＋45
=87＋45
=132（匹）
答：黑马有132匹。
说明我们从应用题的已知条件出发，运用已学的基本数量关系，推出新的结果。这种思考
问题的方法，我们称之为“综合法”。
例6学校买了180瓶红墨水，买的蓝墨水比红墨水少12瓶，学校共买多少瓶墨水？
分析要求出共买多少瓶墨水，必须知道两种墨水各买了多少瓶。我们已知买红墨水的瓶
数，，买蓝墨水的瓶数没直接给出，但根据条件可求出蓝墨水的瓶数。
解180＋（180－12）
=180＋168
=348（瓶）
答：学校共买了348瓶墨水。
说明我们从应用题的问题出发，运用已学的基本数量关系，找出解决这个问题所需要的两
个条件，这种思考问题的方法，我们称之为“分析法”。
［思路技巧］
解应用题常用综合法和分析法。
［习题精选］
１．提出问题，并在（）里列式计算。
⑴______________?()
⑵______________?()
⑶______________?()
⑷______________?()
２．选择条件：
春天来了，学校里需要种56棵树，______________，每个小队种几棵？
⑴平均分给7个小组种
⑵平均分给7个中队种
⑶平均分给7个少先队员种
⑷平均分给7个小队种
３．把下面两步计算应用题变成两个有联系的简单应用题：
商店里有35筐苹果，62筐梨，卖出74筐水果，还剩多少筐水果？
４．把下面两个有联系的简单应用题变成一道两步计算的应用题：
⑴生产队有小鸡316只，小鸭比小鸡少138只，小鸭有多少只？
⑵生产队有小鸡316只，小鸭178只，小鸡和小鸭一共有多少只？
５．看线段图编题。
６．看图编应用题并回答。
红气球72个
黄气球9个
７．爸爸带10元钱买一双鞋子、一双袜子，还多一元钱。妈妈带10元钱买同样的一双鞋子，
两双袜子还差一元钱，有双鞋子多少元？
８．一杯果汁，小明先喝了半杯，往杯里加满了凉开水，再喝去半杯，又加满了凉开水，最
后小明将它全部喝完，他一共喝了多少杯果汁？多少杯水？
９．一条凳子坐9人还多4个座位。现在8条凳子，全坐满共坐多少人？
10．根据题中的数量关系改编应用题：
小朋友大扫除，4个人扫地，5个人拖地板，一共有多少人大扫除？
11．动物园里有6只大猴，小猴比大猴多8只（或大猴比小猴少8只），小猴有几只？
12．小英看一本60页的故事书，第一天看了15页，第二天看了10页，这时还剩几页没有看？
13．教室里有21个女同学和15个男同学在排练节目，又来了7个男同学和7个女同学。教
室里的男同学比女同学少几人？
14．爷爷比爸爸大36岁，比妈妈大38岁。爸爸妈妈年龄的和刚好等于爷爷的年龄。爷爷有
多少岁？
15．刘明比李老师小37岁，比王老师小28岁，刘明的年龄刚好等于李老师与王老师年龄的
差，刘明有多少岁？
倍数问题
［知识要点］
１．已知甲数是乙数的几倍和乙数，求甲数。
甲数=乙数×倍数
２．已知甲数是乙数的几倍和甲数，求乙数。
乙数=甲数÷倍数
［范例解析］
例1给下面给题补充问题：
⑴有黄花37朵，红花是黄花的2倍。___________?
⑵新华书店下午卖出小人书340本,是上午卖出的4倍。___________?
分析我们用线段图来观察。
从线段图6-4观察，有两种填法：
①红花有多少朵？
②黄花和红花一共有多少朵？
由图6-5知，有两种填法：
①上午卖出小人书多少本？
②上午和下午一共卖出小人书多少本？
说明用线段图表示倍数的问题，非常直观易懂，它是解决问题的一种非常有效的方法，我
们称之为“图解法”。
例2绿化小组种松树200棵，种的杨树是松树的3倍。种了杨树多少棵？松树和杨树一共种
了多少棵？
分析把少数当作一份画线段图（图6-6）
可看出求杨树的棵树要用乘法，有了两树的棵树即可求和。
解杨树的棵树是200×3=600（棵）
松树和杨树一共是
600＋200=800（棵）
例3学校图书室原来有图书1350本，现在的图书是原来的3倍，现在比原来多多少本？
分析首先求出现有图书的本数，再减去原来的本数，就是多的本数。
解1350×3－1350
=4050－1350
=2700（本）
答：现在比原来多2700本。
例4六角亭小学有羽毛球112个，羽毛球的个数是小足球个数的4倍，羽毛球和小足球共有
多少个？
分析先求出小足球的个数，两球相加即可。
解112÷4＋112
=28＋112
=140（个）
答：羽毛球和小足球共有140个。
例5学校食堂买回鲜鱼10千克，买回的羊肉是鲜鱼的2倍，买回的胡萝卜是羊肉的4倍，
食堂买回胡萝卜多少千克？
分析这是一个连乘的问题。
解10×2×4=80（千克）
答：买回胡萝卜80千克。
例6校园里有杨树20棵，杨树比柳数少5棵，松树的棵树是杨树的2倍，柳数有多少棵？
松树有多少棵？三种数一共有多少棵？
分析将杨树作为一份画出线段图，如图6-7。
由线段图6-7可求出柳树、松树的棵数以及它们的和。
解柳树的棵树：20＋5=25（棵）
松树的棵树：20×2=40（棵）
三种树的总棵数：20＋25＋40=85（棵）
答：有柳树25棵，松树40棵，三种树一共85棵。
［思路技巧］
倍数问题要弄清谁是谁的倍数。可利用图解法帮助理解题意。
［习题精选］
1．看图6-8回答问题。
⑴白珠有几个？
⑵白珠的个数是黑珠的几倍？
⑶白珠有几个（用算式列出）？
２．光明农机厂原来每天生产零件352个，经过技术革新，现在的产量是原来的3倍，现在
每天生产零件多少个？原来比现在少多少个？
３．一辆汽车可装运面粉286袋，一节火车车厢装运的面粉等于8辆汽车装运面粉的总和，
一节火车车厢可以装运面粉多少袋？
４．一只大象的体重是一只河马体重的4倍，一只大象的体重是4900千克，一只河马的体重
是多少千克？
５．红旗机器厂有女工405人，男工人数是女工的3倍。男工有多少人？男工、女工一共有
多少人？
６．大新香皂厂用汽车运送香皂，每辆汽车可以运送150箱，5辆同样的汽车运送多少箱？
如果用这些汽车运送3次，一共可以运送多少箱？
７．养鸡场养公鸡308只，养的母鸡是公鸡的5倍，养母鸡多少只？养的小鸡又是母鸡的4
倍，养小鸡多少只？
８．⑴3的2倍乘3的2倍，得数是3的几倍？
⑵甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，甲数是丙数的几倍？
９．小兰今年8岁，阿姨的年龄是小兰的3倍。阿姨今年多少岁？小兰的年龄是小江的2倍，
小江今年多少岁？
10．⑴六角亭小学有足球18个，羽毛球的个数是足球的5倍，羽毛球有多少个？
⑵六角亭小学有足球18个，平均份给高年级6个班，每班可以份到多少个足球？
11．果园里有1250棵桃树，梨树棵树是桃树的3倍，梨树有多少棵？桃树和梨树一共有多少
棵？
12．食堂买来西红柿17千克，萝卜24千克，黄瓜是萝卜的3倍，茄子是西红柿的2倍，黄
瓜、茄子各买了多少千克？
13．修路工人第一天修路125米，第二天修的路是第一天的2倍，第三天比
第二天多修20米，第三天修了多少米路？
14．移动右表中的数字，使第二排的三位数是第一排三位数的2倍，第三排
的三位数是第一排三位数的3倍，有几种移法？
有关平均分的问题
［知识要点］
１．“平均分”就是每份分得同样多；
２．“平均分”的条件，即分东西时一定要知道分多少东西和分成几份；
３．“平均分”的方法，用除法计算。
［范例解析］
例1看图6-9写出两个除法算式：
分析这是一个平均分的问题，根据题意和我们学过的除法有两种分法。
第一种方法是把24个乒乓球平均分成4份，求每份的个数；
第二种方法是把24个乒乓球按6个为一堆，，求它的堆数。
解24÷4=6（个）
24÷6=4（堆）
说明这两种方法的相同点是，都用除法计算，且算式中的被除数都是24；不同点是，第
一种分法是知道要分的数和平均的份数，求每份是多少；而第二种分法是知道要分的份数
和每份是多少，去平均分的份数。
例2学校买来15个皮球，平均分给3个班，每班分几个？
分析此题要分的数是15，要分的份数是3份，可用除法计算。
解15÷3=5（个）
答：每班可分5个皮球。
例3小东买了10颗糖，小方买了8颗糖，把这些糖平均分给小东、小方和小红，后来小红
按价拿出1角2分钱，这些钱怎样分给小东和小方？
分析要求这些钱怎样分给小方、小东，就必须先求出每人平均分得几颗糖和平均每颗糖的
价钱。
解⑴平均每人分糖多少颗？
（10＋8）÷3=6（颗）
⑵每颗糖价是多少？
12÷6=2（分）
⑶小东付给小东的钱是几分？
2×（8－6）=4（分）
例4爸爸买了500克梨，500克苹果，500克梨是4个梨，500克苹果比500克梨多1个，
平均每个苹果重几克？1500克苹果和1500克梨共多少个水果？
分析要求平均每个苹果重几克，必须先求出苹果的个数。
解苹果有多少个？
4＋1=5（个）
每个苹果重多少克？
500÷5=100（克）
1500克苹果和1500克梨共多少个？
5×3＋4×3=15＋12=27（个）
例5四年级同学在校园里种了9棵小松树，平均分成3行，每行4棵，他们是怎样种的？
分析假设横、竖排列，每行3棵，4行共要12棵树，而现在只有9棵，缺3棵，因此不
能横竖排列。要复合题意，必定有3棵树在行中要重复两次，也就是两行必有一个公共点，
那只有排列成三角形状。三角形的三个顶点就是三个公共点。
解本题有许多种种法。如下图6-10、图6-11和图6-12分别各是一种解法。
说明此题种法的关键是掌握9棵树中必有3棵树在所在的行中各要重复2次才行。
［思路技巧］
正确理解平均分的意义，解平均分的问题，用除法计算。
［习题精选］
１．填空：
⑴母鸡捉到20条虫，分给5只小鸡吃，平均每只小鸡吃（）条；如果分给4只小鸡
吃，平均每只小鸡吃（）条？
⑵“30÷5=6”表示把__________。平均分成__________份，每份是__________。
“30÷6=5”表示把__________。平均分成__________份，每份是__________。
２．把12根小棒平均分成几堆，有几种不同的分法？
３．有一堆饼干，把它平均分成6份，正好分完。这堆饼干最少是多少块？
４．买两个布娃娃的钱可以买3盒积木，或4只小熊猫。每个布娃娃6元，每盒积木多少元？
每个小熊猫多少元？
５．一堆积木，比10个多，比20个少，少的份数和每份的个数同样多。这堆积木有多少个？
６．把10个小木块平均分成几堆，有几种不同的分法？
７．看图6-14编道乘法应用题，再编两道除法应用题。
８．有一堆苹果，把它平均分给4个同学，正好分完，这堆苹果最少有几个？
９．有4个木马，可以平均分给几个小朋友？每个小朋友分几个？你能想出几种分法？
10．三年级同学在校园里种了7棵小松树，平均分成6行，每行3棵，他们是怎样种的？
11．写出4个商是4的除法算式：
（）÷（）=4；（）÷（）=4；
（）÷（）=4；（）÷（）=4。
12．用下面每组里的3个数，分别写出2个乘法算式和2个除法算式。
⑴3、12、4；⑵20、4、5。
13．从20里每次减去4，要减几次才能减完？
14．⑴做4个图6-15那样的图形，要几个同样的三角形的纸片？
⑵把上题改编成一道除法应用题。
15．⑴20个同学参加劳动，平均分成5个小组，每组有几个同学？
⑵20个同学参加劳动，5人分成一个小组，一共可以分成几个小组？
16．⑴二年级举行数学比赛，3个班选18个同学参加，平均每个班选几个同学？
⑵二年级选18个同学参加数学比赛，计划从每个班里选出6个同学，二年级一共有几个
班？
17．做4个如图6-16那样的图形，要几个三角形纸片？有20个一样的三角形纸片，可以拼
成5个右图那样的图形，每个图形要几个三角形纸片？
18．有30克糖，每盒装4克，剩下的装纸袋里，纸袋里装几克糖？
19．回答下列问题：
⑴什么情况下商等于被除数？
⑵什么情况下除数和余数的和等于被除数？
⑶什么情况下商和余数的和等于被除数？
20．南村小学有48人吃中饭，8个人用一只汤碗，2个人用一只菜碗，每个人用一只饭碗，
问炊事员一共要洗几只碗？
21．佳丽咖啡店有34个桔子，先每7个装一大盘，剩下的每2个装一小盘。问要几个大盘？
几个小盘？
22．56个同学平均分坐8行，每行还有2个空位。再坐多少个同学，才能坐满每一个座位？
23．看图6-17编一道加法应用题，一道减法应用题和一道除法应用题。
24．⑴同学们种了9棵松树，每行3棵，共种了4行，你知道他们是怎样种的？
⑵同学们种了12棵向日葵，共种了4行，每行4棵，他们是怎样种的？
事物推理问题
［知识要点］
本节介绍智趣问题，解答时着重逻辑推理，先否定错误的可能性，然后得到正确的结论。
［范例解析］
例1晶晶、红红、惠惠三个女同学穿着不同颜色的连衣裙，去参加“六一”儿童节活动。一
个穿红色连衣裙，一个穿白色连衣裙，一个穿黄色连衣裙，惠惠穿的不是黄色连衣裙，晶
晶穿的既不是黄色连衣裙，也不是红色连衣裙。请你猜一猜，三个女孩各穿的什么颜色的
连衣裙？
分析根据惠惠穿的不是黄色连衣裙，晶晶穿的也不是黄色连衣裙，这两个条件，推出只有
红红转着黄色连衣裙。又根据晶晶穿的也不是红色连衣裙，推出惠惠穿的是红色连衣裙，
晶晶穿的是白色连衣裙。
例2有甲、乙两个铁盒，甲盒可以装1250克米，乙盒可以装750克米，想一想，你能用它
们量出1750克米来吗？
分析先用甲盒装满米，然后往乙盒倒，当乙盒装满米时，甲盒内正好剩下500克米。将这
500克米倒出，再用空甲盒装满米，就两出了1750克米来。
例3三个金鱼缸里共有27条金鱼。如果从第一个缸里拿3条金鱼放到第二个缸里，从第二
个缸里拿1条金鱼放到第三个缸里，三个缸里的金鱼就同样多。三个缸里原来各有多少条金
鱼？
分析后来3个缸里的鲸鱼一样多，说明每个缸里有9条金鱼，从第一个缸里拿3条，说明
它原来有12条；第二个缸里总共得到了2条，说明它原来有7条，第三个缸里得到了1
条，说明它原来有8条金鱼。
例4有2个油壶，一个刚好装1500克油，另一个刚好装2500克油。想一想，用这2个油壶，
怎样才能从桶里倒出2000克油来？
分析先把大壶（装2500克的）装满，然后倒入小壶（装1500克的）中，这时大壶里还剩
1000克油；再把小壶里的1500克油全倒入桶中，把大壶里剩下的1000克油倒入小壶里；
接着，用桶里的油把大壶装满，再把大壶里的油往小壶里倒，直到恰好把小壶装满为止。
这样，大壶里剩下的油正好是2000克。
［思路技巧］
解答这类问题，要认真分析题中所给的条件，由逻辑推理得到正确的结论。
［习题精选］
１．二（一）班中队举办了一个花卉展览，共收集了七盆花。第一小队送来了两盆，一共40
朵花，第二小队送来了两盆，一共35朵花，第三小队送来了两盆，一共60朵花，第四小队
送来了一盆，已知七盆花的朵数分别为40、10、15、20、25、30、35。你能推算出七盆花
是那个小队送的吗？
２．小勇、小康、小峰三人按年龄大小在同一所学校的不同年级读书。小勇不比小峰大，小
康不比小勇大。请说出谁的年级最高？谁第二？谁的年级最低？
３．丹丹、敏敏、燕燕三人问老师，她们数学测验得多少分？老师回答说：你们班没有人不
及格，你们三个人的分数不一样，一个得80分，一个得90分，还有一个得100分，丹丹不
是80分，燕燕不是80分也不是100分。你们猜猜看，谁得了100分？谁得了90分？谁得
了80分？
４．李老师、王老师和张老师分别上一门课，已经知道这三门课是语文、数学、唱歌。还知
道：⑴李老师不会唱歌。⑵唱歌的老师是三八红旗手。⑶张老师是数学老师的哥哥。请
或出这三位老师各教什么课？
５．小航、小明、小铨三个男孩，各有一个妹妹叫小平、小莉、小红。六个人在一起打乒乓
球。举行男女混合双打，事先规定：兄妹二人不搭伴。
第一盘：小航和小平对小铨和小莉
第二盘：小铨和小红对小航和小莉。
问：小平、小红，小莉各是谁的妹妹？
６．小兰有两件毛衣，一件是绿色的，一件是红色的，她有3条裤子，一条是蓝色的，一条
是黄色的，一条是紫色的，说一说，她的毛衣和裤子有多少种不同的搭配穿法？
７．上学期期末考试，一年级三班有8个同学语文得100分，有9个同学数学得100分，李
老师说：“凡是得100分的同学举手。”请你想一想，最多有多少只手举起来？最少有多少只
手举起来？
８．有一天，王老师和两个学生要过河，河边有一只小船，每次过河船只能载重50千克，但
是王老师体重50千克，而两个学生的体重各25千克，想想看，他们怎样过河的？
９．挑滚珠。有九个滚珠，其中有一个稍轻一点，现在，要把它挑出来，你能用天平只称两
次，就把这个轻一点的挑出来吗？
10．找次品。一个工人叔叔，生产了81个零件，下班时，他发现有一个轻一点的次品混到里
边去了，怎么办呢？工人叔叔找来一架天平，只称了4次就把次品找出来了，你知道他是怎
样称的吗？
11．老师称小青、小东和小明的体重，如果把他们两人两人地搭配起来称，他们的体重情况
如下表：
称上的人重量
小青和小明50千克
小青和小东48千克
小明和小东52千克
想想看，这三个人的体重各是多少千克？
12．白狗比白猫重，黑狗也比白猫重，黑狗比白狗轻，谁最重呢？
13．你向穿衣镜走近半米，那你和镜子里的“你”近了几米？
14．一条狗栓在木桩上，绳长10米，在离狗20米远的地方放一个馒头，狗正好吃到了，那
么这时狗在什么地方？馒头放到了什么地方？
15．图书室里有三个书柜，每个书柜都有四格书，每格上都标明了书的册数，如下表，不许
用加法算，你能很快地说出这三个书柜里书的总数都一样多吗？
16．80枚金币中有1枚是假的，它比真金币要轻一亿2。用一架天平去称，最少称几次，才
能保证找出这个假金币呢？
钟面上的数学问题
［知识要点］
“时刻”与“时间”的意义不同，能根据钟面上的1—12进行加、减乘法计算。
［范例解析］
请读者制作一个有时针和分针的钟面模型。
例1将钟面拨到4点。从4点经过4个小时，钟面会指到几点？（八点）再拨到八点，这里
说的4点与4小时有什么区别？
例2将钟面拨到7点。从7点再经过7小时钟面会指到几点？（二点）再拨到二点。这里的
7点与7小时有什么区别？
说明上两例题中的4点、7点、8点，??表示了一天内某一时刻，这是钟、表的表面上
显示的几点几分，能使人直接看出这是什么时刻。
4小时，7小时，8小时，??这是指的两个不同时刻之间经过的时间。如4点这
个时刻到8点这个时刻经过了4小时。
例3钟面上的加法：
⑴5点再过3小时是几点？
5＋3=8
答：8点。
⑵8点再过8小时是几点？
8＋8=16，16－12=4。
答：4点。
⑶3点再过12小时是几点？
3＋12=15，15－12=3。
答：3点。
说明上面的例题反映了钟面上的加法的计算规律：
⑴两数之和小于12，和就是所求的钟点数。
⑵两数之和小于12，和减去12就是所求的钟点数。
⑶一个数加上12，就是原来的这个数。
例4钟面上的减法：
⑴8点以前的5小时是几点？
⑵2点以前的5小时是几点？
⑶5点以前的12小时是几点？
解如图6-18所示。
说明减法与加法类似，就是：
⑴被减数大于减数，差就是所求的钟点数。
⑵被减数小于减数，就在被减数上加12再减，差就是所求的钟点数。
⑶一个数减12，差就是原来的这个数。
例5钟面上的乘法（假设都以12点开始）；
⑴经过6个2小时是几点？
2×6=12（点）
⑵经过3个5小时是几点？
5×3－12=15－12=3（点）
⑶经过2个12小时是几点？
12×2－12=12（点）
说明钟面上乘法几的规律：
⑴两数之积小于或等于12，积就是所求的数；
⑵两数之积大于12，从积里减去12的倍数，使差小于12，这个差就是所求的钟点数；
⑶任何数乘以12，所求的钟点数就是12。
这类“钟面上的数学”实质上是十二进位制的问题。
例6李医生为了抢救病人，几天几夜没有休息。后来，病人的病情好转，他提早下班回家，
准备好好睡一觉。他晚上十时上床，准备睡到次日正午起床上班。于是把闹钟拨到他认为正
确的钟点后，就关灯睡觉了。当闹钟响的时候，他实际睡了多少小时？
分析因为李医生睡觉是夜间十点钟，他把闹钟拨到12点，误认为要到明天正午才闹，但
是闹钟却走到夜间12点就响了，所以李医生实际只睡了两小时。
例7一天中午正下着大雨，小明问小红：“再过60小时会不会出太阳？”小红回答说：“那
可不一定。”小明肯定地说：“再过60小时以不会出太阳。”想一想，这是为什么？
说明因为一天等于24小时，从中午起经过60小时，正好是午夜，所以一定不会出太阳。
［思路技巧］
要注意分析题中所指的是时刻还是时间。钟面上的数字计算是十二进位制。
［习题精选］
１．学校中午12：00放学，下午2：00上学，中间休息了（）小时。
２．图6-19标明了小刚每天晚自习学习的开始时刻是（），学习的结束时刻是（），
学习时间是（）。
３．一列火车从甲地开往乙地需要6小时，上午9点开车，下午（）点到达。
４．新华书店上午9点开始营业，下午7点停止营业，每天营业时间多长？
５．填空：
⑴从7点再经过3小时是（）点；
⑵从8点再经过5小时是（）点；
⑶从9点再经过（）小时是7点；
⑷从12点再经过（）小时是6点。
６．填空：
⑴9点前的6小时是（）点；
⑵4点前的7小时是（）点；
⑶7点前的（）小时是4点；
⑷2点前的（）小时是5点。
７．某工人为了搞一项科学试验，几天几也没睡觉，试验成功后他回家准备好好地睡一觉，
他晚上八点上床，准备睡到第二天十二点起床，他把闹钟拨到他认为正确的钟点后就关灯睡
觉了，当闹钟响的时候，他实际睡了多少小时？
８．小红想到外婆家去玩，9点钟从家里出发，下午2点钟才到达，她
每小时步行3千米，小红家离外婆家多远？
９．红旗文具点上午8点开始营业，晚上6点停止营业，共卖150元，
平均每小时卖多少元？
10．请你在图6-20的钟面上画二条直线，把钟分成三部分，使每部分
的数字加起来的和相等。
11．小红家离的一台钟，一点钟打一响，两点钟打两响，三点钟打三响，但每半点钟也打
一响。有一天，小红听见台钟打了一响，没多久又听见响了一下，后来又听见响了一下，你
能知道最后一响是几点钟？
模拟试题一
１．小红是1983年4月份出生的，小花是1983年7月出生的。小红说：“4排在7的前面，
我的年龄比你大。”小花说：“7比4大3，我的年龄比你大。”到底谁的年龄大？
２．数一数。
⑴图7-1中的各个图形是由几个同样的三角形组成的？
⑵图7-2中每个图有几个三角形？
３．有7只小兔，每只小兔要喂1个萝卜，还缺2个萝卜，现在有几个萝卜？
４．小花和小明套圈，每人8个圈。小花套上5个，小明套上八个。小花有几个没套上？小
明有几个没套上？
５．小朋友排队回家，从前面数，小明是第4名；从后面数，小明是第5名。这一对共有多
少个小朋友？
６．小兰和小强原来各有一些书，当小兰给小强4本后，这时两人的书同样多，原来小兰比
小强多几本？
７．一根木头要锯成12段，需要锯几次？
８．有8篇故事，小明每天看一篇。已经看了5篇，剩下的还要看几天？
９．4个小朋友分糖，分来分去多3颗，至少有几颗糖？
10．玲玲做一道数学题，本来应该减去9，她看作7，结果得8，正确的得数应该是几？
11．小朋友打靶，如图7-3，打中一得5分，打中二得1分，打中三得2分，
打中四得3分，打中五得4分。现在规定要打14分，你最少要打几次？打
在什么地方？
12．妈妈寄一本书给哥哥，要贴2角钱的邮票，家里有很多8分和4分的邮票，有几种贴法？
13．1元钱正好买一支毛笔和两只球，如果买一支毛笔和一只球，就会剩下3角钱。买一支毛
笔要多少钱？
14．在4的后面添一个0，这个数比原来的数多几？
15．一本数有78页，小英看了一部分，还剩24页，小英看了多少页？
16．两筐梨子都是20千克，从第一筐倒入第二筐5千克后，第二筐比第一筐多多少千克？
17．把1、2、3、4、5、6、7这7个数字填入方框内，使它们的和正好等于100。
18．用6、7、8、9这4个数（每个数用一次）在图7-5方框中编一道加、减算式。
19．小明站在队伍中间，从他前面的一个人向前数有14人；从他后面的一个人向后数，有15
人。他走出队伍从头到尾，共有多少人？这支队伍共有多少人？
20．小玲有26朵红花，小青有12朵红花，小玲要送给小青几朵红花，两人的红花才同样多？
21．小芳参加跳绳比赛，和参加比赛的每个小朋友握了一次手。小芳记得一共握了28次手，
参加比赛的有多少人？
22．老师领来90张纸，先用去25张，又用去36张，剩下的比领来时少多少张？
23．红绳比白绳长14厘米，蓝绳剪掉22厘米与白绳同样长，红绳与原来的蓝绳比，哪条长？
长多少？
24．小王衣服上有4个口袋，每个口袋放了2枚两分的硬币。。小王一共有多少钱？
25．有8张纸，每张叠一只小船，一共要叠15只小船，还差几张纸？
26．在一只船里，坐着老师、男同学和女同学共三组，小光用加法计算另外两组人数，小芳
用乘法计算另外两组人数，结果都一样，船上有多少人？
27．在一个方方正正的厅里，共有椅子10把，每面墙边都要放3把，应该怎样放才对？
28．小红和另外3个同学做纸花，每人做5朵，一共做了多少朵？
29．小新家距离学校50米，一次他上学走了5米，想起忘记带蜡笔，又回家去取。这次他到
学校共走了多少米？
模拟试题二
1．找规律填数：
⑴21，24，27，（），（）；
⑵50，48，46，（），（）。
2．从30里面每次都减去6，要减几次才能减完？
3．一只小羊的重量等于4只鸭的重量，一只鸭的重量等于2只鸡的重量。一只鸡500克重，
一只鸭重几克？一只小羊重几克？
4．⑴小华的体重加1千克，就和小刚一样重，小华重30千克，小刚重几千克？
⑵小刚的体重减去3千克，就和小英一样重，小英重几千克？
⑶小英的体重加几千克，就和小华一样重？
5．⑴3千克鲜鱼能晒1千克干鱼。晒6千克干鱼需要几千克鲜鱼？
⑵3千克鲜鱼能晒1千克干鱼。6千克鲜鱼能晒几千克干鱼？
6．一条鱼头长2分米，尾长是头长的一半，身长是两个头长。这条鱼
全长是几分米？
7．老师和学生在校园里浇树，老师一次挑2桶水，2个学生抬一桶水，
现在有8个桶，如果由老师挑，几个老师一次挑完？如果由学生抬，
几个学生一次抬完？
8．妈妈给小明2个大盒子，每个大盒子里面装着6个纸盒，每个纸盒
又装着4个小盒子。小明一共有几个小盒子？
9．用大小形状一样的积木搭成如图7-6这样一个空心方体。
⑴它的四周有几块积木？
⑵如果把空心填满，还要几块积木？
10．从5，1，0，3，7这五个数中，选出四个组成四位数，其中可以组成的最小四位数是几？
最大四位数是几？
11．小明心中想好一个三位数，这个三位数的三个数字的和为12，百位数字加上5得7，个
位数字加上2得8。猜猜看，这个三位数是什么？
12．有一个四位数，个位数字是7，十位数字是2，任意相邻的3个数字的和都是14。这个四
位数是多少？
13．小明比小兰高5厘米，小云比小明矮3厘米。小云比小兰高几厘米？
14．小路边种了12棵树，每隔2米种1棵，这12棵树间共有几米长？
15．一条小路长是12米，每隔2米种1棵树。这样需要种几棵树？
16．一根竹竿高10米，蜗牛从底向上爬。白天爬上去2米，夜晚滑下来1米。这只蜗牛什么
时候爬到竹竿顶上？
17．小华的家离小光的家有120米，小光的家离小玉的家有200米，但是小华的家离小玉的
家不是320米，而只有150米远。想想看，这是怎么一回事？
18．有这样一台天平（如图7-7），如果要称的东西的重量是在1克到40克中间，那么只要1
克、3克、9克、27克四个砝码就行了。
⑴要称14克重的物体，应该怎样使用这些砝码？
⑵要称25克重的物体，应该怎样使用这些砝码？
19．小刚的年龄，是最大的一位数加最小的两位数，再加上最大的三位数，又减去最小的四
位数，小刚的年龄多大？
20．⑴学校买回240支红粉笔和一些白粉笔，用去100支白粉笔后，剩下的白粉笔和红粉笔
同样多，学校买回多少支白粉笔？
⑵学校买回240支红粉笔和一些白粉笔，用去100支红粉笔后，剩下的红粉笔和白粉笔
同样少200支。学校买回多少支白粉笔？
21．鸡、鸭、鹅共重9千克，鸡、鸭共重5千克，鸭和鹅共重7千克。鸡、鸭、鹅各重几千
克？
22．大象能活80年，长颈鹿如果多活55年，它的寿命可正好与大象的寿命
一样长。长颈鹿可以活多少年？
23．把1，2，3，4，6，7，8，9这8个数填在右面图7-8的□里，使每横行
3和数的和，每竖行3个数的和，每条斜线上的3个数的和，都等于15。
模拟试题三
1．按规律填数：
142857×2=285714142857×3=428571
142857×4=571（）142857×5=71（）142857×6=（）
2．一支粉笔有2个头，4支粉笔有几个头？4支半粉笔有几个头？
3．一根绳子长80米，把它对折、剪断、再对折、剪断，第三次对折剪断，这时绳子平均分
成了几段？每段长多少米？
4．二年级一班有46个同学，排成两行做广播操，小兰和小丽都站在第一行。从左起报数，
小兰报11，从右起报数，小丽报7。小兰和小丽之间有几个同学？
5．二年级一班有46个同学，排成两行做广播操，小云和小刚都站在第
二行。从左起报数，小云报18，从右起报数，小刚报11。小云和小刚
之间有几个同学？
6．把1，2，3，4，5，6，7这7个数填在图7-9中是○里，使每条直
线上3个数的和，每个圆上3个数的和，都等于12。
7．树上有15只鸽子和32只麻雀，又飞来8只鸽和11只麻雀。树上的麻雀比鸽子多几只？
8．如果小兰借1支铅笔给小强，两人的铅笔就同样多；如果小强借一支铅笔给小刚，小刚就
比小强多2支铅笔。小兰和小刚谁的铅笔多？多几支？
9．三个鱼缸里共有27条金鱼，如果从第一个缸里拿3条金鱼放到第二个缸里，从第二个缸
里拿1条金鱼放到第三个缸里，三个缸里的金鱼同样多。三个缸里原来各有几条金鱼？
10．把1000颗葡萄放进5只篮子里，使每只篮子里的葡萄都是一个由8组成的数。想一想，
应该怎样放？
11．把1，2，3，4，5，6，7，8，9填在右面的□里，使算式成立。
12．⑴饲养组去年养兔12只，今年养兔只数是去年的5倍。今年养
兔多少只？
⑵饲养组去年养兔12只，今年养兔只数比去年增加了5倍。今年养兔多少只？
13．学校食堂买回鲜鱼10千克，买回的羊肉是鲜鱼的2倍，买回的胡萝卜是羊肉的4倍。食
堂买回胡萝卜多少千克？
14．在图7-10中，移动一根火柴，使图中的算式分别等于39，42，46，49，
51，52，55，58。
15．小丽今年9岁，爸爸的年龄是小丽的4倍。爸爸今年多少岁？几年后，爸爸的年龄是小
丽的2倍？
16．李师傅把一根4米长的木头锯成6段，每锯一段需要48秒钟。锯完这根木头需要多长时
间？
17．图书室买回一批连环画。小刚去借走了一半，小丽去借走了剩下的一半，还剩20本。图
书室买回连环画多少本？
18．张的爷种的西瓜丰收了，他带着西瓜去慰问解放军。遇见战士小王，张大爷送给他全部
西瓜的一半，小王还给张大爷一个；遇见战士小李，张大爷又送给他一半的西瓜，小李还给
张大爷一个。这时张大爷手里有两个西瓜，问张大爷原来带去的是几个西瓜？
19．有两袋水果糖，一袋有84粒，另一袋有20粒。每次从多的一袋里取出8粒放到少的一
袋里，这样需要几次才能使两袋里的粒数相等？
20．不用计算，说出下面哪个算式的得数大：
⑴1＋2＋＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋0；
⑵1×2×3×4×5×6×7×8×9×0。
21．新华书店运来故事书405本，运来的科技书是故事书的2倍，运来的连环画是科技书的4
倍。运来连环画多少本？
22．本学期小文、小智、小英三人，共得小和花100朵，其中小文比小英多6朵，小智比小
文多4朵。他们三人各得小红花多少朵？
23．同学们上台合唱，前排16人，后排各排总比它前一排少一人，最后一排10人打锣鼓，
加上“指挥”共有多少人？
24．有一天，李明的妈妈对李明说：“小明，你去买回两个面包。”
“拿多少钱？”李明问。
妈妈笑着说：“你拿7角再加上一个面包钱的一半就能买到一个面包。”
同学们，李明该拿多少钱？
25．星期天，李明和王平一块去钓鱼。王平不一会儿提起钓钩，把一条银白色的小鱼甩上岸
来，李明的钓鱼竿却很少动。
李明的姐姐走来，笑着问到：“你和王平已经钓到很多了吧？”
李明回答说：“我俩已经钓到很多鱼了，总数比我钓的多15条。可是，我们两人谁钓的多，
你自己猜，反正有一个多钓了12条。”
同学们，请你也算算李明和王平各钓了多少条鱼？
模拟试题四
1．简便运算：
⑴74＋29＋26；⑵153＋29＋171；⑶58＋47＋42＋13；
⑷149＋32＋151＋68；⑸2608＋529＋392＋271。
2．在图7-11中的○里填上合适的数，使每条线上3个数的乘积都等于120。
3．一个学生在做加法的时候，把个位数2当作9，把十位数4当作7，结果
所得的和是750。原来正确的得数应该是多少？
（提示：把十位数4当作7，和应该大30。）
4．有三根绳子，第一根比第二根短5分米，第三根比第二根长4分米，第三根与第一根比，
那根长？长多少分米？
5．两匹马一起拉着一辆车跑了40千米，每一匹马跑了几千米？
6．把16只鸡分别装进5个笼子里，怎样装才能使每个笼子里的鸡数目都不相同，请把鸡的
数目填入下面5个方格内。
7．七个箱子中分别有1个，2个，4个，8个，16个，32个和64个苹果，现在要求从七个箱
子里取出87个苹果，但每个箱子里的苹果要么全部取走，要么全不取，你看应该怎样取？
8．学校有90个红皮球，如果白皮球再添上10个就跟红皮球同样多。学校有多少个白皮球？
9．看图7-12解题。
10．按下面条件分别编出求和，求差，求剩余的应用题。并进行计算。
⑴第一天收割了74亩水稻。
⑵第二天收割了65亩水稻。
⑶两天共要收割139亩水稻。
11．商店原有肥皂15箱，又运进12箱，卖出14箱，商店里还有多少箱？下面两个算式都对
吗？什么道理？
15＋12－14；15－14＋12。
12．操场上原来有23个男同学和17个女同学在跑步，又来了48个男同学和48个女同学参
加跑步，在操场上跑步的女同学比男同学少几个人？
13．食堂买来白菜85千克，萝卜比白菜多18千克，萝卜比土豆少21千克，买来土豆多少千
克？
14．二（二）班有同学53人，一张课桌可坐2人，教室里需要放几张课桌？
15．商店运来48箱蛋糕，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，商店里还剩下多少箱蛋
糕？
16．车上有乘客185人，到了黄鹤楼站，下的乘客比上的乘客多32人，这时车上有乘客多少
人？
17．姐姐今年6岁，弟弟今年2岁，几年后姐姐的年龄是弟弟的2倍？
18．有一只装满油的油桶，重17千克，用去一半后再称油桶重10千克，这桶油有多重？这
只空桶有多重？
19．爸爸买了3千克苹果，2千克梨共用6元5角，妈妈买了3千克苹果，1千克梨共用去5
元5角，1千克苹果多少钱？1千克梨多少钱？
20．在一条长20米的走道上两边放花盆，每隔5米放一盆，两端都放，一共要放多少盆？
21．运动场上正在进行长跑比赛，在每个运动员的前面有七个人在跑，在每个运动员的后面
也有七个人在跑，现在场上一共有几名运动员？
22．冬冬问红红：“今天星期几？”红红说：“今天星期五。”冬冬说：“从今天算起第43天是
星期几？
23．给幼儿园大班30个小朋友分糖，每人3颗，分完一轮可继续分，分完二轮还剩5颗，原
来有糖多少颗？
24．有50个乒乓球，每8个装一盒，还剩2个，共装了多少盒？
25．彤彤用“庆祝元旦“这几个字，写了两个算式：
⑴庆祝=祝＋祝＋祝；
⑵元旦=旦×旦×旦×旦×旦。
如果“庆祝元旦“各代表1~9中的一个数字，请你推出：庆=（），祝=（），元=（），
旦=（）。
模拟试题五
1．填空：
⑴1（）（）1＜1010；
⑵最小的四位数比最大的三位数多（）；
⑶九个千八个百四个一组成的数是（）
⑷从1109起写出五个连续的数（）（）（）（）（）；
⑸在45的后面添一个0，这个数是原来的（）倍，比原来多（）；
⑹用7，9，0，5四个数字组成一个最大是四位数是（），组成一个最小的四位数是（）；
⑺用9，5，7可以组成（）个不同的三位数；
⑻145×6表示（）个（）连加。
2．下面各题对的打“√”，错的打“×”：
⑴12点以前1小时是1点；（）
⑵一个苹果重80克；（）
⑶一千克铁比一千克棉花重；（）
⑷一米比100厘米长；（）
⑸教室高15厘米；（）
⑹一节课40分钟；（）
⑺2小时就是2点钟；（）
⑻有20个苹果，比桔子少5个，桔子有25个。（）
3．谁对谁错。
⑴茜茜和平平同做58＋469这道题，两人计算结果不一样，茜茜得517。平平得527。谁的
结果对？
⑵小波和小斌做了一题6080×5的数学题，小波得30400，小斌得34000，谁算得对？
4．小飞有8支铅笔，给了小敏2支后两人同样多，小敏原有多少支铅笔？
5．500克什锦糖装一袋，现有5千克400克什锦糖，要装11袋，还差多少克？
6．吴明买8本练习本，周冬也买了4本同样的练习本，周冬比吴明少付8角钱。他们两人共
付多少钱？
7．首长外出开会，汽车从部队营房出发，向东走了1650米，发现文件没带，又回头去拿。
拿到文件后再向东走了4000米到达开会地点。汽车共行了多少米？
8．小亮要做一个箱子盖，在盖的四角和每边要钉钉子固定。若每边钉8颗，四边共钉钉子多
少颗？
9．花果山上有60只大猴，40只小猴，平均每只大猴摘8个桃，每只小猴摘5个桃，问这群
猴子共摘了多少个桃？
10．一条路长450米，种了10棵梧桐树，树与树之间的距离相等，每两棵树之间的距离是多
少米？
11．下面两组数中有一个与众不同的数，请你找出这个与众不同的数，并把它划去。
⑴405，455，505，545，605，655；
⑵632，602，572，542，502，482。
12．巧填竖式：
13．金星化工厂第一季度（一月、二月、三月）原计划生产肥皂9600箱。实际一月份生产了
3015箱，二月份生产了3000箱。
⑴一月份比二月份多生产了多少箱？
⑵三月份还要生产多少箱，才能完成任务？
14．一段公路已经修好2000米，比没有修好的少300米，这段公路长几米？（这段公路长4300
米，想想是怎样算出来的）
15．胜利小学共有师生837人，其中男生有418人，女生有382人，这个学校的老师有多少
人？
16．玩具店有一批长枪和300支短枪，卖了50支长和100支短枪以后，剩下的长枪和短枪的
支数同样多。原来有多少支长枪？
17．小军、小明、小华去书店买书，小明比小华多买3本，小军比小明多买2本。他们一共
至少买了几本？
18．说出150分别乘以2到9各数所得的积。
19．永定路小学二年级有学生208人，三年级学生比二年级多5人。
⑴三年级有多少人？
⑵二、三年级共有多少人？
⑶四、五年级人数是二年级的2倍，四、五年级有多少人？
20．猜灯谜：
⑴一刀两断；（猜一数学符号）
⑵横看是支尺，竖看是根棒，年龄是最小，大哥它来当。（猜一数字）
21．节日里，几为同学去看望老科学家。这些老爷爷高兴地拿出苹果来招待同学，其中一位
老爷爷看了篮里的苹果说：“篮里的苹果如果每人分两个，还少三个。如果每人分一个，那
么老师也能吃一个。”你知道老爷爷篮子里共有几个苹果？要分给几个同学吃？
22．有一天，小光的爸爸从书店里买回一包新书。小光见了很高兴，马上抢着要看，爸爸说：
“小光，你二年级上学期都快学完了，今天让你来分一分这包书，看你会不会。”爸爸接着
说：“这包书一共有13本，如果妈妈比你多拿2本，我又比你妈妈多拿3本。你说说看，爸
爸妈妈和你每人可以分到几本书。”小光听了爸爸的讲话后，在草稿本上认真的计算，当他
把计算结果给爸爸看时，爸爸连声称赞道：“小光分对了，小光真聪明。”看书的小朋友，这
包书你会分吗？
模拟试题六
1．有3人进行象棋比赛，每人赛了2盘，3人一共赛了几盘？
2．小明计算一道二位书乘以一位书的乘法题，他把被乘数56错写成65，结果比正确得数多
36。正确的得数应是多少？
3．动物园要把新买的17只猴子放入5个笼子里，要求每个笼子里至少放一只，而且所放猴
子的只数都不相同。有几种方法？怎样放？
4．有一个九位数，个位上的数字是7，十位上的数字是2，而且每相邻的三个数字的和都为
15。这个数是多少？
5．小光和小亮都有一些画片，小光给小亮4张画片后，小光比小亮还多4张。小光比小亮原
来多几张？
6．用绳量井深。把绳的一端放入井底，井外余8米；把绳对折后再用同样
的方法量，井外余1米。井深是多少米？
7．把3，4，5，6，7，8六个数字填在图7-13的圆圈中，使每条边上3个
数字的和为17，那么三角形三个顶点的数字之间的和是多少？
8．算盘上两粒珠子可表示几个不同的三位数？它们分别是多少？
9．右式是一个减法算式，由1~9九个不同的数字组成。试在方格中填上
其他的几个数字。
10．一个渔民捕3天鱼后晒2天网。4月1日他开始捕鱼，这个月（30天）
这个渔民捕鱼几天？晒网几天？
11．有红、黄、蓝、白、黑五种颜色的玻璃球若干个，已知黄的比蓝的多，比红的少；蓝的
比白的多，红的比黑的少。哪种颜色的玻璃球最多？哪种最少？
12．桌上放了3盆桔子共45只，如果从第一盆中拿出4只放入第二盆，从第二盆中拿出7只
放入第三盆，那么三个盆中桔子的只数相等。原来每盆各有桔子多少只？
13．某班同学围成一圈做游戏。从小明开始顺时针方向报数，报到19时是小亮；如果从小明
开始逆时针方向报，报到22时是小亮，这个班有学生多少人？
14．有10根火柴棒，按1，2，3，4根的顺序放在桌子上，如图7-14。你能移动1根火柴，
使原来的顺序倒过来吗？
15．一面红旗有2种颜色，3面同样的旗帜一共有（）种颜色？
16．一根木棒2个头，5根半木棒有（）头。
17．把一根铁丝剪成4米长的一段，正好剪3次。这根铁丝原来有多少米长？
18．小朋友圈成一个正方形做游戏，每边站5人，最多共有多少人？最少共有多少人？
19．小明、小芳、小丁一起做纸花，小明和小芳共做5朵，小芳和小丁共做6朵，小明和小
丁共做7朵。他们三人共做多少朵？小明、小芳、小丁各做多少朵？
20．二年级三个班进行象棋比赛，每个班选一名代表参加。三名代表的名字是李明、王勇、
丁燕。第一盘比赛是李明对（一）班的代表；第二盘是王勇对（三）班的代表，李明休息。
（一）班的代表是谁？（二）班的代表是谁？（三）班的代表是谁？
21．自行车厂一月份生产男车520辆，女车比男车少80辆，女车又比童车多300辆。一月份
生产男车、女车、童车共多少辆？
22．有256个同学去春游，共乘了3辆客车，其中2辆小客车各乘60个同学，第3辆是大客
车，需乘几个同学？大客车比小客车多乘几个同学？
23．光明小学建了一幢四层楼房，每层之间有16级楼梯。从底层到四楼要走几级楼梯？
24．生物小组陨落养了43条金鱼，后来自己孵出了21条，其中死了13条，同学又送来5条。
现在比原来多了多少条金鱼？
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