仿射相关理论

1. 仿射变换的应用

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1. 在用PS时，大家一定用过旋转、水平剪切和垂直剪切的操作。 2. spm在fmri图像数据预处理时，normalize归一化这一步时，需要将带配准图像与来自standard space的模板图像进行配准，配准除了涉及旋转、平移这些刚体变换之外，还包括放缩、错切。这就构成了a full affine transformation全仿射变换。 3. 做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。

2. 仿射变换的定义　　

　　仿射变换是二维平面中一种重要的变换，在图像图形领域有广泛的应用。许多人对“仿射”没有一个感官的认识，我觉得很有必要先来说一下“仿射”。

所谓的“仿射变换”就是一种简单的变换，它的变化包括旋转、平移、伸缩，原来的直线仿射变换后还是直线，原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线，这就是仿射。保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括

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平移(Translation) 缩放（Scale） 翻转（Flip） 旋转（Rotation） 剪切(Shear)

仿射变换的矩阵的平移(Translation)+旋转（Rotation）操作是其次坐标形式的变换矩阵

这个矩阵包含的变换有旋转和平移，其实是两个矩阵的混合体，许多文章都对这个做了很详细的描述。仿射变换的数学公式里，是如何做到坐标点位置的平移呢？清楚这个才是弄明白仿射变换的关键。

利用此图可以完成仿射变换公式的推导，推导如下：

2.1 旋转操作的矩阵实现

一个点P在原始坐标系下的坐标是(Xsp,Ysp)。然后要完成旋转操作，旋转操作是基于原点的，如何得到旋转之后的点的坐标，这里用到一个技巧，坐标系中某个点的旋转可以等价地去旋转坐标轴，所以有了上图中以(Xs0,Ys0)为中心的虚线与屏幕水平垂直的坐标系。在这个坐标系中确定P的坐标，和在蓝色坐标系中确定旋转之后P的坐标是等价的。基于这个结论，我们可以通过简单的立体几何知识确定P在新坐标系中的坐标。P在新坐标系中的X坐标和Y坐标分别是

经典的仿射变换的模型呼之欲出了。整理上面两个式子得：

这就是仿射变换模型中旋转部分的原理，还有一步，就是平移。

2.2 平移的实现

旋转变换之后，我们确定了P点在新坐标系中的位置，然后在这个位置的基础上加上其在X轴和Y轴的偏移即可

仿射变换的矩阵横空出世。当然上图中对这个变换的处理更巧妙，它还是利用了不移动点移动坐标系的策略，将坐标系向相反方向移动了相应的距离。于是有了上图这个经典仿射变换模型的图示展现。

上图中我们可以看到，整个在对P点进行仿射变换的过程中，P点的位置并没有移动，我们是通过不断的坐标系的调整来间接达到P点移动的效果，这充分说明了一件事：

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运动都是相对的。

 

3. 几种典型的仿射变换API

3.1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：

（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。） 

3.2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：

3.3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切变换，变换矩阵为：

相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合

（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。） 

3.4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋转变换，目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

3.5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋转变换，目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[   cos(theta)    -sin(theta)    x-x*cos+y*sin]

[   sin(theta)     cos(theta)    y-x*sin-y*cos ]

[       0              0          1            ]

相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：

[1  0  -x][cos(theta)  -sin(theta)  0][1  0  x]

[0  1  -y][sin(theta)   cos(theta)  0][0  1  y]

[0  0  1 ][   0           0        1 ][0  0  1]

4. 仿射变换效果图　　　　

顺时针旋转30度：


水平剪切：


垂直剪切：