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特殊的剩余定理： 核心基础公式：被除数=除数*商+余数 同余问题核心口诀：“余同取余。和同加和，差同减差，公倍数作周期” ① 余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1 ② 和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7 ③ 差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”， 因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3 例题1： 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？ A、4 B、5 C、6 D、7 （当然可以用特殊值法） 因为3+2=4+1=5 所以取12+5=17 17/12=1 余5 剩余定理的一般情况： 一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。 卡卡西解析： -------------------------------- 一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+6 7a+3=5b+2 7a+1=5b a=2 b=3 最小公倍数35 35c+17=8d+6 32c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑） 3c+3=8d C=7 35*7+17=262 262+280N 一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？ 分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。 ---------------------------------- 解：300-262=38 262-205=57 （28，57）=19 12 ＋22 ＋ 32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_____。 ----------------------- 方法一： 根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 方法二： ÷7＝0…1， ÷7＝0…4， ÷7＝1…2， ÷7＝2…2， ÷7＝3…4， ÷7＝5…1， ÷7＝7（余数为0）， ， ÷7与 ÷7余数相同，同样地， ÷7与 ÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0 今天星期一，1998的1986次方天后星期几？ ---------------------------------- 1998的1986次=（265*7+3）1986次 =3的1986次 3^0 整除7的余数是 1 3^1 整除7的余数是 3 3^2 整除7的余数是 2 3^3 整除7的余数是 6 3^4 整除7的余数是 4 3^5 整除7的余数是 5 3^6 整除7的余数是 1 由此可见，6次一循环 所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为 3^0/7=1 1+1=2 |
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