嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研数学试卷（理）
本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．考试前，考生须将学校、姓名、考试号码等信息填写在答题纸的规定位置，并将考试号码下面相应编号的小方格涂黑．解答本试卷时请将答案写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．设是虚数单位，是实数，若是实数，则________．
2．函数的定义域是______________．
3．等差数列中，公差，是与的等比中项，则____________．
4．若，则____________．
5．设函数的反函数为，则方程的解是_____________．
6．已知正三棱柱的底边长，高，则异面直线与所成角的大小为_____________________（结果用反三角函数值表示）．
7．设是定义在上的奇函数，且满足，则___________．
8．若展开式的第项为，则__________．
9．设、，把三阶行列式中元素的余子式记为，若关于的不等式的解集为，则________．
10．如图所示的程序框图，输出的结果是_________．
11．有三个学习小组，组有学生人，组有学生人，组有学生人，从中任意选出人参加知识竞赛，则、、三组每组都至少有人的概率是_________．
12．如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，那么______________．
13．设是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：
①，②，③，④．
那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是____________（写出满足条件的所有向量的序号）．
14．已知数列（）满足且，其中．若（），则的最小值为________________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设直角三角形的三边长分别为，，（），则“”是“，，成等差数列”的………………………………………………………………………（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
16．有下列四个命题：
①三个点可以确定一个平面；②圆锥的侧面展开图可以是一个圆面；
③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．
其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（）
A．B．C．D．
17．方程的实数解的个数是………………………………………………………（）
A．B．C．D．
18．对于函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为．已知，，则函数在上的几何平均数为………………………………………（）
A．B．C．D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，△中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知向量，，其中为常数，且．
（1）若，且∥，求的值；
（2）设函数，若的最小正周期为，求在时的值域．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层加装费用与年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式，并写出的定义域；
（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用最小？并求出最小总费用．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．
已知函数，其中，定义数列如下：，，．
（1）当时，求，，的值；
（2）是否存在实数，使，，成等比数列？若存在，请求出实数的值，并求出等比数列的公比；若不存在，请说明理由．
（3）设，为在的反函数，数列满足：，（），记，求使成立的最小正整数的值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
设，函数的图像与函数的图像关于点对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；
（3）设函数，，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关．试求的取值范围．
嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研
数学试卷（理）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．答案：．
因是实数，所以．
2．答案：．
由，得，所以．
3．答案：．
，，由已知得，即，解得．
4．答案：．
由，得，所以．
5．答案：．
解法一：函数的反函数为（），由得，因为，故．
解法二：由，得．
6．答案：．
因为∥，故就是异面直线与所成的角，连结，在中，，，所以．
7．答案：．
因是定义在上的奇函数，所以，在等式中令，得．
8．答案：．
展开式的第项为，解得，
所以．
9．答案：．
三阶行列式中元素的余子式为，由得，由题意得，所以．
10．答案：．
，满足，于是；，满足，；，满足，则；，不满足，则输出，．
11．答案：．
满足条件的选法可分为三类：组人，、组各人，有种选法；组人，、组各人，有种选法；组人，、组各人，有种选法．所以、、三组的学生都有的概率．
12．答案：．
由题意，且，，，
所以，，因，故，．
13．答案：①③④．
由，得，化简得
，当时，等式成立；当时，有，即，所以①、③、④都能使等式成立．
14．答案：．
，则，，
，．所以是以为周期的周期数列．
（第14题也可取满足条件的和的特殊值求解）
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．C．16．A．17．D．16．B．
15．由可得，，成等差数列；若，，成等差数列，则，由勾股定理，，得，，解得，令（），则，得．所以．
16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．若圆锥的侧面展开图是一个圆面，则可得圆锥底面半径的长等于圆锥母线的长；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．
17．作出函数与，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点（第一象限的两个交点是和）．
18．若取、为区间的两个`端点，则．若，取，，对任意，，于是；
若，取，，对任意，，于是
．所以．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
解：设半圆的半径为，在△中，
，，，
连结，则，……（2分）
设，则，…………（4分）
因为，所以，
即．………………（6分）
．
阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体为底面半径，高的圆锥中间挖掉一个半径的球．………………（8分）
所以，．…………（12分）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）若，则，，由∥的充要条件知，存在非零实数，使得，即，
所以，，…………（3分）
（以下有两种解法：）
解法一：，，，，
．…（6分）
解法二：．
所以．…………（6分）
（2）
，…………（8分）
因为的最小正周期为，所以，，
所以，…………（10分）
当时，，…………（12分）
所以函数的值域为．…………（14分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）由已知，当时，，即，所以，……（1分）
所以，…………（2分）
又加装隔热层的费用为．
所以，…………（5分）
定义域为．…………（6分）
（2）
，…………（10分）
当且仅当，
，，即时取等号．…………（13分）
所以当隔热层加装厚度为厘米时，总费用最小．最小总费用为万元．…（14分）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．
解：（1）时，，因为，所以，，．…………（3分，每求对一项得1分）
（2），则，，
，…………（5分）
如果，，成等比数列，则
，，2
，…………（6分）
因为，所以，或．……（8分）
当时，数列的公比．……（9分）
当，．…………（10分）
（3），，所以（），……（11分）
，，所以，而，所以是以为首项，为公比的等比数列，，…………（13分）
所以，…………（14分）
由，即，解得，所以所求的最小正整数的值是．
…………（16分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
23．解：（1）设点是函数图像上任意一点，关于点对称的点为，则，，于是，，…………（2分）
因为在函数的图像上，所以，……（3分）
即，，所以（或）．………………（5分）
（2）令，因为，，所以，所以方程可化为，
即关于的方程有大于的相异两实数解．…………（8分）
作，则，…………（11分）
解得．所以的取值范围是．…………（12分）
（3），．
当时，因为，所以，，所以函数不存在最大值．…………（13分）
当时，，令，则，，
当，即时，在上是增函数，存在最小值，与有关，不符合题意．…………（15分）
当，即时，在上是减函数，在上是增函数，当即时，取最小值，与无关．…………（17分）
综上所述，的取值范围是．…………（18分）
O
A
C
N
M
B
O
A
C
N
M
B
否
结束
输出
开始
是
第10题图
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