金山区2010学年第一学期期末考试高三数学试题
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚．
2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若集合A={x|1<|x–1|<3，x(Z}，用列举法表示A=．
2．已知sinθ=，θ是第二象限的角，则tanθ=．
3．函数y=log2x的反函数是．
4．计算：sin(arctan)=．
5．若cos(=–，(((,()，则sin((+)=．
6．在边长为2的正方形ABCD中，若E是CD的中点，则=．
7．若矩阵A=，矩阵B=，则矩阵A和B的乘积AB=．
8．行列式的值是．
9．在()12的二项展开式中，常数项的值为．
10．已知向量=(k2+k–3)+(1–k)，=–3+(k–1)，若向量与平行，则k=．
11．若有下列命题：①|x|2+|x|–2=0有四个实数解；②设a、b、c是实数，若二次方程ax2+bx+c=0无实根，则ac≥0；③若x2–3x+2≠0，则x≠2，④若x(R，则函数y=+的最小值为2．上述命题中是假命题的有(写出所有假命题的序号)．
12．“渐升数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字)，如：24579就是一个五位“渐升数”．那么在二位“渐升数”中，任取一个二位渐升数，则该数比45大的概率是．
13．函数y=|x2–1|和函数y=x+k的图像恰有三个交点，则k的值是．
14．如图，把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点A为第一行，…，BC为第n行，记点A上的数为a=1，…，第i行中第j个数为a(1≤j≤i)．
若a21=，a22=a31+a32+a33=．
二、选择题(本大题共有4题，考生应在答题纸相应编号的位置内填涂，每小题5分，共20分)
15．“x=2k(+(k(Z)”是“tanx=1”成立的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
16．下列给出的赋值语句中正确的是()
(A)3=A(B)M=M+1(C)B+A–2=0(D)x+y=0
17．设Sk=+++，则Sk+1为()
(A)Sk+(B)Sk++
(C)Sk+–(D)Sk+–
18．定义：=a1a2a3…an，则的值为()
(A)0(B)(C)(D)1
三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内，如果写错位置，该题不予评分，责任自负．本大题有5个小题，共74分)
19．(本题12分)已知a、b、c是(ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是(ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．
20．(本题14分)已知向量，向量(+)．
(1)求函数f(x)的最值成立的x的取值范围．
21．(本题14分)阅读：设Z点的坐标(a,b)，r=||，θ是以x轴的非负半轴为始边、以OZ所在的射线为终边的角，复数z=a+bi还可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，这个表达式叫做复数z的三角形式，其中，r叫做复数z的模，当r≠0时，θ叫做复数z的幅角，复数0的幅角是任意的，当0≤θ<2π时，θ叫做复数z的幅角主值，记作argz．
根据上面所给出的概念，请解决以下问题：
(1)设z=a+bi=r(cosθ+isinθ)(a、b(R，r≥0)，请写出复数的三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；
(2)设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则．(结论不需要证明)
22．(本题16分)数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n(N)，数列{bn}的前n项和为Sn．
(1)若数列{an}的公差d等于首项a1，试用数学归纳法证明：对于任意n(N，都有Sn=；
(2)若数列{an}满足：3a5=8a12>0，试问n为何值时，Sn取得最大值？并说明理由．
23．(本题18分)在R+上的递减函数f(x)同时满足：(1)当且仅当x(MR+时，函数值f(x)的集合为[0,2]；(2)f()=1；(3)对M中的任意x1、x2都有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2)；(4)y=f(x)在M上的反函数为y=f–1(x)．
(1)求证：(M，但(M；
(2)求证：f–1(x1)?f–1(x2)=f–1(x1+x2)；
(3)解不等式：f–1(x2–x)?f–1(x–1)≤．
2010学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．{–1,3}；2．–；3．y=2x，x(R；4．；5．；6．4；7．；8．；9．924；10．1,2，–3；11．①、④；12．；13．1或；14．
二、选择题
15．A；16．B；17．C；18．C
三、解答题
19．解：∵S=absinC，∴sinC=，…………………………………………4分
于是∠C=60o，或∠C=120o，……………………………………………………6分
又c2=a2+b2–2abcosC………………………………………………………………8分
当∠C=60o时，c2=a2+b2–ab，c=…………………………………………10分
当∠C=120o时，c2=a2+b2+ab，c=．……………………………………………12分
20．(1)向量，向量(+)=+=1+2sinxcosx=1+sin2x．…………………………………5分
函数f(x)的最值(2)由f(x)≥得：sin2x≥≤2x≤2k(+，…………………………………………………………12分
即k(+≤x≤k(+，k(Z．；……(各3分)………………………6分
(以上每组内只写出一个，给2分)
(2)三角形式下的复数乘法的运算法则：
z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)(r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]……10分
三角形式下的复数除法的运算法则：
[cos(θ1–θ2)+isin(θ1–θ2)](z2≠0)…………14分
注意：z2≠0不写扣1分．
22．(1)当n=1时，S1=b1，==b1，原式成立．……………………1分
假设当n=k时，Sk=成立，………………………………………………2分
则Sk+1=Sk+bk+1=…………………………………………………4分
====……6分
所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意n(N，都有Sn=；……………8分
(2)因为3a5=8a12>0，所以3a5=8(a5+7d)，a5=–>0，所以d<0
又a16=a5+11d=–>0，a17=a5+12d=<0，………………………………………11分
所以a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18…，b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18…，
因为b15=a15a16a17<0，b16=a16a17a18>0，………………………………………………13分
a15=a5+10d=–>0，a18=a5+13d=<0，
所以a15<–a18，所以b15>–b16，b15+b16>0，……………………………………………15分
故S16>S14，所以Sn中S16最大．………………………………………………………16分
23．(1)证明：因为(M，又=(，f()=1，
所以f()=f(()=f()+f()=2([0,2]，所以(M，……………………………3分
又因为f()=f(()=f()+f()=3([0,2]，所以(M；…………………………5分
(2)因为y=f(x)在M上递减，所以y=f(x)在M有反函数y=f–1(x)，x([0,2]
任取x1、x2([0,2]，设y1=f–1(x1)，y2=f–1(x2)，
所以x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1、y2(M)
因为x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2)，……………………………………………………………7分
所以y1y2=f–1(x1+x2)，又y1y2=f–1(x1)f–1(x2)，
所以：f–1(x1)?f–1(x2)=f–1(x1+x2)；……………………………………………………10分
(3)因为y=f(x)在M上递减，所以f–1(x)在[0,2]上也递减，
f–1(x2–x)?f–1(x–1)≤等价于：f–1(x2–x+x–1)≤f–1(1)…………………………………11分
…………………………………………………………………………14分
即：…………………………………………………………17分
所以≤x≤2…………………………………………………………………………18分
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