上海市卢湾区2011届高三第一学期期末考试试（数学）卷2011.01
（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，，则．
2．函数的定义域是．
3．方程在上的解集是．
4．当时，行列式的值是．
5．…）的值为．
6．已知函数是奇函数，当时，，且，则=．
7．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输
出的结果为.
8．若方程的解为，则大于的最小
整数是．
9．已知函数的图像过点，
则此函数的最小值是．
10．在一次口试中，每位考生要在5道备选试题中随机地抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格．若位考生会答5道题中的3道题，这位考生及格的概率则的最大值为．
12．一个调查机构就某地居民的月收入调查
了10000人，将所得数据分成如下六组：
相应的频率分布直方图如图所示．若按月
收入将这10000人也分成上述六组，并通
过分层抽样抽出100人作进一步调查，则
这一组中应抽出人．
13．若，则的值为
．
14．设O是直线AB外一点，，，点…是线段AB的n
(n≥2)等分点，则．（用表示）
知).C.D.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数的最小正周期是（）
A．B．
C．D．
16．在三棱锥P—ABC中，所有棱长均相等，若M为棱
AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（）
A．B．
C．D．
17．中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从
左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为（）
A．24B．18C．12D．6
18．已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题6分．
已知是复数，为实数（为虚数单位），且．
（1）求复数；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知,,为△ABC的三个内角，向量，，且．
（1）求的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数解析式；
（2）设，求S关于t的表达式以及S的最大值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数（常数，且，求x的值；
（2）若，求证函数在上是增函数；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时,有[,]=
[,]；当<0时,有[,]=[,]．
（1）求证数列{}是等比数列；
（2）若，求证；
（3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由．
卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试
数学参考答案及评分标准2011.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分．
1．2．3．4．5．6．5
7．8．59．610．0.711．（理）6（文）212．15
13．1414．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．
15．A16．C17．D18．B
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（1）由是实数，可设=a，，
故，………………3分
所以，又，可得，
即，所以．………………6分
（2）由，可得，
又，∴………………9分
即，解得，
所以实数m的取值范围是．………………12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
（1）由，可得·=0，………………2分
即·，又，
所以，
即，又，………………6分
∴，故．………………8分
（2）在△ABC中，由，
可得，………………10分
即，
故，………………12分
∴．………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）延长交于，延长交于，
由是正方形，是矩形，可知，
由，可得，，
∴，，………………4分
∴
故S关于的函数解析式为
．……6分
（2）由，可得
，即，
∴．……………9分
又由，可得，
故，
∴S关于t的表达式为（，
可知当时，取最大值，
故的最大值为．………………14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）由，可得，设，
则有，即，解得………………2分
当时，有，可得．
当时，有，此方程无解．
故所求x的值为．………………4分
（2）设且，
则
………………7分
由，可得，即
由，可得，故，
又，故，即
所以，即，
故函数在上是增函数．………………10分
（3）由
………………12分
设，由，可得，
由存在使得，
可得存在，使得，………………14分
令，
故有或，
可得．即所求a的取值范围是．………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
（1）当≥0时，bn+1－an+1=-an=；
当<0,bn+1－an+1=bn-=．
所以，总有bn+1－an+1=(bn-an),
又，可得，
所以数列｛bn－an｝是等比数列．………………4分
（2）①由，可得，故有，
∴，，从而，
故当n=1时，成立．………………6分
②假设当时，成立，即，
由，可得，
,故有，
∴,………………9分
,故有
∴,，故
∴当时，成立．
综合①②可得对一切正整数n，都有．………………12分
（3）假设存在，使得数列为常数数列，
由（1）可得bn－an=()n-1，又，
故bn=()n-1，………………14分
由恒成立，可知≥0,即()n≥n≤对任意的正整数n恒成立，………………16分
又是正数，故n≤对任意的正整数n恒成立，
因为是常数，故n≤不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在，使得数列为常数数列．………………18分
（第16题图）
M
P
B
C
A
月收入(元)
（第12题图）
i←i-1
i≥10
开始
S←S×i
i←12,S←1
结束
是
输出S
否
（第7题图）
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