2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷（理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分）的解是。
2、设集合，则。
3、已知圆的圆心是点P，则点P到直线的距离是。
4、若，则行列式。
5、已知向量，则向量在向量的方向上的投影为。
6、已知无穷等比数列的各项和为4，则首项的取值范围是。
7、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式。
8、一颗骰子投两次,记第一次得到的数值为,第二次得到的数值为,将它们作为关于的二元一次方程组的系数,则方程组有唯一解的概率为。（用数字作答）
9、已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点。
10、若函数在区间上是增函数，则的取值范围是。
11、若，则。
12、已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，这四个数据的平均数为1，则的最小值为。
13、设且。若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是。
14、设数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，则使得为数列中的项的所有正整数的值为。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、已知，都是实数，则“”是“”的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件
16、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（）
（B）（C）（D）
17、定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令。给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的，有；（4）。（注：这里指与的数量积）
则其中所有真命题的序号是（）的图像大致为()
三．解答题（本大题满分分）中，角、、的对边分别为、、，且。
求的值；（2）若，且，求和的值。
20．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。
设函数。
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，试判断函数的单调性，并证明。
21．（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。
已知关于的不等式，其中。
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由。
22．（本题满分18分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分6分。
各项均为正数的数列的前项和为，满足。
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列满足，数列的前项和为，求；
（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的，试图确定的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。
23．（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。
（1）试用的代数式分别表示和；
（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）
2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断（理科）答题卷2011.1
题号 一 二 19 20 21 22 23 总分 满分 56 20 12 12 14 18 18 150 得分
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
一、填空题（本大题共1题，满分分）2.3.
4.__5._6.
7.__8._9.
10.11.12.
13.14.
二、选择题（本大题共题，满分分）2B铅笔填涂?
15．[A][B][C][D]16．[A][B][C][D]
17．[A][B][C][D]18．[A][B][C][D]
三、解答题（本大题共题，满分分） 22．[解]
（1）
（2）
（3）
23．[解]
（1）
（2）
（3）
2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷
理科试卷参考答案及评分标准（2011.1）
填空题：
1．2．3．4.5．
6．7．8．9．10．
11．12．13．或14．
二．选择题：15．D16．A17．C18．B
三．解答题:
19．解：（1）由
得……2分、、是的三内角，所以，……5分……6分，即……8分，所以，……10分，得……12分时，…………….2分…………….4分，即时取等号，∴…………….6分时，任取
…………….8分∵，，∴…………….10分∵，∴,即在上为增函数…………….12分时，；………………2分且时，………………4分；……………………5分时，；（不单独分析时的情况不扣分）
当时，.……………….7分时，中整数的个数为无限个；………………..9分时，中整数的个数为有限个，……………11分，当且仅当时取等号，……………12分时，中整数的个数最少。…………….14分…………….2分，两式相减，得
…………….4分为等差数列，首项为2，公差为1…………….5分是首项为2，公比为2的等比数列，…………….7分为偶数时，…………….8分…………….10分为奇数时，…………….11分
…………….12分，
设…………….13分，…………….15分
…………….17分乙同学的观点正确。…………….18分是垂直于轴的一条垂轴弦，所以
则…………….2分则…………….4分，…………….6分…………….8分在椭圆C：上，，
则（定值）
是与和点位置无关的定值………….12分是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………….16分
在圆C：上，，
则
是与和点位置无关的定值
②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………….16分
在双曲线C：上，，
则
是与和点位置无关的定值
第二层次：
点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。………….18分，
在抛物线C：上，
则
是与和点位置无关的定值
12
x
D
C
O
y
O
y
x
B
流水号
F
O
x
M
N
P
E
y
O
1
y
x
1
A
O
1
y
1
x
|
|
