2010学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷（理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分）的反函数。
2、设集合，若，则。
3、若事件与相互独立，且，则。
4、系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是。
5、在中，分别是角所对的边，且，则角的大小为
。
6、已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为。
7、在的展开式中，的系数是15，则。
8、一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量表示随机摸得一个球的得分，则随机变量的均值为。
9、在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则________cm．
10、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为。
11、设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是。
12、方程所表示的曲线与直线有交点，则实数的取值范围是。
13、在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点，则的最小值为。
14、设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足的最大整数的值为。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、极坐标方程表示的曲线是（）
（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线
16、设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件
17、函数的图象按向量平移后的函数解析式为。当函数为奇函数时，向量可以等于（）
（A）（B）（C）（D）
18、设非空集合满足：当，给出如下三个命题：①若；②若；③若．
其中正确的命题的个数为（）A）0个B）1个C）2个D）3个（本大题满分分）的不等式的解集为．
（1）求实数、的值；
（2）若，，且为纯虚数，求的值．在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
求异面直线与所成角的大小；
（结果用反三角函数值表示）
（2）求点到平面的距离。
21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。
如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。
22、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。
若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？
如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）
23、（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。
求数列的通项公式；
试确定实数的值，使得数列为等差数列；
当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
2010学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断（理科）答题卷2011.4
题号 一 二 19 20 21 22 23 总分 满分 56 20 12 14 14 16 18 150 得分
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
一、填空题（本大题共1题，满分分）2.3.
4.__5._6.
7.__8._9.
10.11.12.
13.14.
二、选择题（本大题共题，满分分）2B铅笔填涂?
15．[A][B][C][D]16．[A][B][C][D]
17．[A][B][C][D]18．[A][B][C][D]
三、解答题（本大题共题，满分分） 22．[解]
（1）
（2）
（3）
23．[解]
（1）
（2）
（3）
2010学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷
理科试卷参考答案及评分标准（2011.4）
填空题：
1．2．3．4.5.和
6．17．8．1.99．10．
11．12．13．414．3
二．选择题：15．A16．C17．B18．D
三．解答题:
19．解：（1）原不等式等价于，即-------------------3分
由题意得，解得，．------------------------5分
（2），------------------------7分
若为纯虚数，则，即----------------------------------9分
所以--------------------12分
20．解：
（1）解：以为原点，分别以，为，轴的正向，并以的垂直平分线为轴，
建立空间直角坐标系.
由题意，解得.-------------------2分
易得相关点的坐标分别为：，，，.
得，，-------------------4分
设与的夹角为，异面直线与所成的角为，
则，得，-------------------6分
即异面直线与所成角的大小为.------------------7分
（2）设平面的法向量为，则
，-------------------10分
取，得平面的一个法向量为，且，
所以点到平面的距离。-------------------14分
21．解：（1）由题意，得在线段CD：上，即，
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以-------------------2分
-------------------4分
所以的取值范围是。-------------------6分
（2）由题意，得
所以-------------------8分
则，-------------------10分
因为函数在单调递减-------------------12分
所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米-------------------14分
22．解：（1）椭圆与相似。-------------------2分
因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为---------------4分
（2）椭圆的方程为：-------------------6分
设，点，中点为，
则，所以
则-------------------8分
因为中点在直线上，所以有，-------------------9分
即直线的方程为：，
由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，
即方程有两个不同的实数解，
所以，即-------------------10分
（3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-------------------16分
作法2：过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-------------------16分
23．解：（1）由题意，则，解得或
因为为正整数，所以，-------------------3分
又，所以-------------------6分
（2）当时，得，
同理：时，得；时，得，
则由，得。-------------------8分
而当时，，得。-------------------10分
由，知此时数列为等差数列。-------------------12分
（3）由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；-------------------13分
当时，，所以成立；-------------------14分
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则
-------------------16分
又，所以，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。
即当时，-------------------17分
综上所述，满足题意的正整数仅有。-------------------18分
12
图1
图1
（第20题）
流水号
图2
图2
|
|
