长宁区2011年高三数学教学质量调研试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．
1、不等式的解集是．
2、如果＝，且是第四象限的角，那么＝．
3、若，其中i是虚数单位，则实数=．
4、（理）在二项式的展开式中，的一次项系数为．、、，，
则边．
5、已知函数中的值是．
6、（理）右图所示的程序流程图输出的结果是______________．
（文）在二项式的展开式中，的一次项系数为．的概率分布列如下，则随机变量的方差
的值是．
0
（文）右图所示的程序流程图输出的结果是______________．
8、（理）在极坐标系中，点M(4，)到直线的距离d＝.某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,50岁及以上的有30人．现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查,则35岁到49岁的应抽取，母线与旋转轴的夹角是，则圆锥的侧面积为．
（文）方程的解集为_______________中，当且仅当时，前项和取得最大值，则公差的范围是
（文）已知等差数列中，公差，则前项和的最大值为
11、（理）若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是被直线所截得的弦长为，则实数的值为
12、（理）矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第列各元素之和为，则．
（文）设圆锥的高为，母线与旋转轴的夹角是，则圆锥的侧面积为．
13、（理）设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边的距离分别为、、，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任意一点，且到四个面、、、的距离分别为、、、，则有为定值_____．
（文）若实数满足且的最小值为3，则实数的值为
14、（理）设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 对于任意的实数，记若其中函数是奇函数，且当时，函数是正比例函数，其图象与时函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法中，y=F（x）为奇函数y=F（x）在（—3，0）上为增函数y=F（x）的最小值为—2，最大值为2正确的是是 （）
A．最小正周期为2的奇函数． B．最小正周期为2的偶函数．
C．最小正周期为的奇函数． D．最小正周期为的偶函数．
16、（理）下列命题说法正确的是 A．“”是“”的充要条件
B．的值域是，则它的定义域一定是．
C．三角形ABC的三内角为A、B、C，则是的充要条件
D．对任意复数，为虚数单位，成立．
（文）设向量,,则下列结论中正确的是
A．． B．．C．∥． D．－与垂直图由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分面积，则函数的图象大致为的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为 （）
A．． B．．
C．． D．．
18、（理）设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且则的值为（）
A．2． B．． C．3． D．．
（文）图由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分面积，则函数的图象大致为（本大题共小题，共分）12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
设函数，其中向量，，，
且的图象经过点．
（1）求实数的值；（2）求的值域．
20、（理）（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）
如图，在底面是边长为的正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，且，
BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）当G在AC上移动时，与能保持垂直吗？说明理由；
（2）求二面角的大小．
（文）（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）
已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的点。
（1）求四棱锥P—ABCD的体积；
（2）与所成角的大小．
21、（理）（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分）
已知数列的前n项和为，若，点（Sn，Sn+1）在直线上．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设为直线上的点，试判断并证明数列的单调性，并求其最小值．
（文）（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分）
已知各项都为正数的数列的前项和满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，并记为的前项和，问：是否存在常数使得对任意的正整数，有成立？如果存在，请写出的范围；如果不存在，请说明理由．
22、（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快。已知每投放,且个单位的,它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（）变化的函数关系式近似为,其中．若多次投放,则某一时刻水中的浓度为每次投放的在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验,当水中的浓度不低于4（克/升）时,它才能起到有效污的作用．
（）若投放一次4个单位的,则有效污时间可达几?
（）若第一次投放2个单位的,6分钟后再投放个单位的污若第一次投放2个单位的,6分钟后再投放个单位的,要使接下来的4中能够持续有效污,试求的最小值（精确到0．1,参考数据:取1．4）．
若第一次投放2个单位的,6分钟后再投放个单位的,问能否使接下来的4持续有效污的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．若过、、三点的圆恰好与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点．
①（理）当的面积为时，求直线的方程．
（文）当时，求的面积；
②（理）在轴上的点与点构成以为底边的等腰三角形，试求的取值范围．
（文）试问：能否为锐角三角形？若能，请求出的范围；若不能，请说明理由．
2011年长宁区高三数学质量调研试卷答案
填空题（每小题4分）（理）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案
1
9
题号 8 9 10 11 12 13 14
答案
（文）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案
1
题号 8 9 10 11 12 13 14
答案
①②③
选择题（每小题5分）（理）
题号 15 16 17 18 答案 （文）
题号 15 16 17 18 答案
三、解答题
19、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
解：（1）
∵图象经过点，
∴，解得．
（2）当时，，
，∴
20、（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分））
（理）解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
，因此；设，则。
，即与能保持垂直。
（2）设平面的一个法向量为，则由，
得，取；
同理可得，平面的一个法向量为。设与的夹角为，
则，；由图像可知，二面角的大小为。
（文）解：根据图形可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，高。
（1）
（2）连接交于点，取中点，连接，则，
，计算得，
，，，
因此异面直线与所成角大小为。
21、（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分）
（理）解（1）∵点（Sn，Sn+1）在直线y=x+n+1（n∈N）上，
∴Sn+1=Sn+n+1,两边同除以n+1,得，…………………2分
于是是以3为首项，1为公差的等差数列．………………………………4分
（2）（2）由（1）可知，=3+（n-1）×1=n+2,即Sn=n2+2n（n∈N），
∴当n=1时，当n≥2时，=Sn-Sn-1=2n+1,经检验，当n=1时也成立，
∴=2n+1（n∈N）．
由条件得，，
，单调递增，当时的最小值为8.
（文）解（1）时，；时，，
，两式相减得，，
，，，
即为等差数列，。
（2）条件为，得，
，
单调递增，时最小值为，因此存在常数使恒成立，
这时的取值范围是。
22、（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
解（）因为,所以…………………………………………………1分
则当时,由,解得,所以此时……………………………………3分
当时,由,解得,所以此时………………………………………5分
综合,得,若一次投放4个单位的,则有效污时间可达8……………6分
时，，
在第8分钟时已经不能有效去污。
（3）（理）当时,……………………………………………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y有最小值为………………………12分
令,解得,所以的最小值为………………14分当时,……………………………………………9分
=,因为,故当且仅当时,y有最小值为………………………12分
能使接下来的4分钟中持续去污。………………14分
，为的中点.
，即，由条件得，
得，因此椭圆方程为；
（2），设直线的方程，代入椭圆得
，设，
。
①（理），
，解得，
直线的方程为：。
（文），直线的方程为，代入椭圆得
，设，则。
因此，。
②（理）线段中点，根据条件得，
，因此，，，
，因此。
（文）②设直线的方程，代入椭圆得
，设，
。
，
，
不能为锐角三角形。
www.zxsx.com
结束
输出I
是
I←I+2
否
S←S×I
开始
S←1
I←3
S>100
理第6题、文第7题图
P
A
B
C
D
F
G
E
an
|
|
