黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评
高三数学试卷(文理合卷)
(2012年1月5日)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
说明：未标明文理科的试题是文科理科学生都要解答的试题。
一．填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
１．已知全集，集合，，则＝．
２．函数的定义域是．
3．的二项展开式中含的项是（的系数用数值表示）．
4．不等式的解集是．
５．关于的方程(是虚数单位)的解是＝．
６．函数的单调增区间是．
7．(理科)无穷等比数列()的前项的和是，且，则首项的取值范围是．
(文科）等差数列()满足，且前项和为，则＝．
８．若，则.
9．已知的图像如＝．
10．一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是．
11．(理科)已知直三棱柱的棱，，如图3所示，则异面直线与所成的角是(结果用反三角函数值表示)．
(文科)已知长方体的棱，，，如图3所示，则异面直线与所成的角是(结果用反三角函数值表示)．
12．已知点、，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是．
13．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是(用数值作答)．
14．(理科)已知函数是非零常数，关于的方程有且仅有三个不同的实数根，若分别是三个根中的最小根和最大根，则=．
(文科)已知函数是上的偶函数，当时，有关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则=．
二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．若，且，则下列不等式中能恒成立的是[答]()
A．．B．．C．．D．．
16．圆与直线的位置关系是[答]()
A．直线与圆相交但不过圆心.B．相切.C．直线与圆相交且过圆心.D．相离.
17．已知函数(为常数)是奇函数，则的反函数是[答]()
A．．B．．
C．．D．．
18．现给出如下命题：
(1)若直线上有两个点到平面的距离相等，则直线；
(2)“平面上有四个不共线的点到平面的距离相等”的充要条件是“平面”；
(3)若一个球的表面积是，则它的体积；
(4)若从总体中抽取的样本为，则该总体均值是的底面是直角梯形，，，
侧面为正三角形，，．如图4所示．
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
(文科)已知四棱锥的底面是直角梯形，，，
侧面为正三角形，，．如图4所示．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的含量的衰变经过5570年(的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．若的原始含量为，则经过年后的残余量与之间满足．
(1)求实数的值；
(2)测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代(精确到100年)．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足．
(1)求动点所在曲线的轨迹方程；
(2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足，又点关于原点O的对称点为点，试问四点是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
(文科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足(O为坐标原点)，试判断点是否在曲线上，并说明理由．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数．
(1)试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；
(2)(理科)若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；
(文科)若函数，试判断函数的奇偶性，写出函数的最小正周期并说明理由；
(3)求函数的单调区间和值域．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知，且，，数列、满足，，，．
(1)求证数列是等比数列；
(2)(理科)求数列的通项公式；
(文科)已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；
(3)(理科)若满足，，，试用数学归纳法证明：
．
(文科)若数列的前项和为，求．
黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评
数学试卷(文理合卷)参考答案
(2011年1月5日)
说明：
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、填空题
1、；8、；
2、；9、 ；
3、；10、；
4、；11、(理)，(文)；
5、；12、；
6、；13、；
7、(理)，(文)；14、(理)，(文)．
二、选择题：15、D16、B17、A18、C
三、解答题
19、(本题满分14分)
证明(1)直角梯形的，，又，，
∴．
∴在△和△中，有，．
∴且．
∴．
解(理科)(2)设顶点到底面的距离为．结合几何体，可知．
又，，
于是，，解得．
所以．
(文科)解(2)∵，是正三角形，
∴，结合几何体可知，
∴．
20．(本题满分12分)
解(1)由题意可知，当时，，即，
解得．
(2)∵古墓中女尸的残余量约占原始含量的76.7%，
∴，即，
解得．
∴由此可推测古墓约是2100多年前的遗址．
21．(本题满分16分)
解(1)依据题意，有．
∵，
∴．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是．
(2)(理科)因直线过点，且斜率为，
故有．联立方程组，得．
设两曲线的交点为、，可算得．
又，点与点关于原点对称，
于是，可得点、．
若线段、的中垂线分别为和，则有，．
联立方程组，解得和的交点为．
因此，可算得，
．
所以，四点共圆，圆心坐标为，半径为．
(文科)因直线过点，且斜率为，故有．
联立方程组，得．
设两曲线的交点为、，可算得．
又，于是，可得点．
将点的坐标代入曲线C的方程的左边，有(=右边)，即点的坐标满足曲线的方程．
所以点在曲线上．
22．(本题满分16分)
解(1)∵
，
∴．
∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到：
①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；
②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；
③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．
(说明：横坐标先放缩，再平移也可．即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．)
(2)(理科)由(1)知，，
∴．
又对任意，有，
∴函数是偶函数．
∵，
∴是周期函数，是它的一个周期．
现用反证法证明是函数的最小正周期。
反证法：假设不是函数的最小正周期，设是的最小正周期．
则，即．
令，得，两边平方后化简，得，这与()矛盾．因此，假设不成立．
所以，函数的最小正周期是．
(文科)由(1)知，，
∴．
又对任意，有，
∴函数是偶函数．
∵函数的最小正周期是，
∴结合图像可知，函数的最小正周期是．
(3)(理科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。
当时，，且．
易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；
函数的取值范围是．
因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是
；单调减区间是；
函数的值域是．
(文科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。
当时，，故．
易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；
函数的取值范围是．
因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是
；单调减区间是；
函数的值域是．
23．(本题满分18分)
证明(1)∵，
∴,.
∵，，
∴
．
又，
∴数列是公比为3，首项为的等比数列．
解(2)(理科)依据(1)可以，得．
于是，有，即．
因此，数列是首项为，公差为1的等差数列．
故．
所以数列的通项公式是．
(文科)依据(1)可以，得．
于是，有，即．
又，则.
因此，数列的递推公式是．
(3)（理科）用数学归纳法证明：
(i)当时，左边，右边，
即左边=右边，所以当时结论成立．
(ii)假设当时，结论成立，即．
当时，左边
，
右边．
即左边＝右边，因此，当时，结论也成立．
根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立．
（文科）由(2)可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，．
故．
因此，，
，
将上述两个等式相减，得，
可化简为．
所以．
【3】
输出k
否
是
开始
结束
图2
O
2
图1
A
B
C
理科图3
A
B
C
D
文科图3
A
B
C
D
S
文理图4
|
|
