2011学年度第一学期普陀区高三年级质量调研
数学试卷（理科）2011.12
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1.函数的最小正周期是的展开式中的常数项是．（用作答）是两个不共线的向量，已知，，，则当三点共线时，.
5.已知各项均为正数的无穷等比数列中，，，则此数列的各项和.
6.已知直线的方程为，点与点关于直线对称，则点的坐标为.
7.如图，该框图所对应的输出的结果的值为满足，试判定的形状.某学生的解答如下：
解：（i），
，
,
故是直角三角形.
（ii）设外接圆半径为.由正弦定理可得，原式等价于
，
故是等腰三角形.
综上可知，是等腰直角三角形. 请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果..
11.已知数列是等比数列，其前项和为.若，，则.
12.若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为.
13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为的个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色.则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为.
14.设，表示关于的不等式的正整数解的个数，则数列的通项公式.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
15.“成等差数列是”成立的（）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分也非必要条件.
A.；B.；C.；D..
，集合，，
则集合可表示为（）
A.；B.；C.；D..
对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题 A．若，，，,则；B．若，，则；
C．若，，，,则；D．若，，，则.
，的图像分别与轴、轴交于、两点，且，函数.当满足不等式时，求函数的最小值.
20.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图,已知圆锥体的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.
（1）求圆锥体的体积；
（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
21.（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知中，，.设，记.
求的解析式及定义域；
（2）设，是否存在实数，使函数的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知数列是首项为的等比数列，且满足.
求常数的值和数列的通项公式；
若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.
23.（本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）
设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.
（1）当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得
；
（2）当时，若，
求证：；
（3）当时，某同学对（2）的逆命题，即：
“若，则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
①试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
②对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.
【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
高三数学质量调研试卷（理科）第1页，共4页
第13题图
1 2 3 4 5 6 7 8 9
第9题图
第7题图
输出
S
B
第20题图
O
P
否
是
结束
开始
A
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