2012年3月新中高级中学第二学期高三数学月考试题（理科）
一．填空题：
1.若，则的定义域为________________
2．已知是非空集合，命题甲：，命题乙：，甲是乙的__________条件3.若纯虚数z满足_________
4.等差数列{an}中，已知，，，则
5．已知，则的值为
6．的展开式中的常数项是（用数字作答）
7．如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是
8．函数在定义域内的零点的个数为
9.在直角中，，，，为斜边的中点，则=__________
10.若双曲线的一条渐近线方程为，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆方程为__________
11．已知命题“存在”是真命题，则实数的取值范围是__________
12．设是实数．若函数是定义在上的奇函数,但不是偶函数,则函数的递增区间为
13.（理）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，，侧棱底面ABCD，若AB=BC=，则CD与平面PAC所成的角为
14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕着C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设的面积为，则的最大值为
二．选择题：
15.函数的图像（）
A．关于原点对称B.关于主线对称
C.关于轴对称D.关于直线对称
16.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为()
A．B.C.D.
17.在△ABC中，分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（）
A． B．4 C． D．2
18.设是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
19．（本题满分1分．）
在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，
（1）若，，，求角的度数；
（2）若，，，求的值.
20．（本题满分1分．）
如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，AF=AB=BC=FE=AD
(1)求二面角A-CD-E的
(2)求五面体ABCDEF
21．（本题满分1分．）如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为和.
(1)若小路一端为的中点，求此时小路的长度；
(2)求的最小值．
22．（本题满分分．）已知方向向量为的直线l过椭圆的焦点以及点，直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为.
求椭圆C的方程
过左焦点且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，（O坐标原点），求直线m的方程
．（本题满分1分．）已知等比数列的首项，数列前n项和记为。
（1）数列
（2）求数列的最大项和最小项；
（）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差，证明:数列为等比数列。一．填空题：
1.若，则的定义域为非空集合，命题甲：；命题乙：.甲是乙的必要非充分条件
3.若纯虚数z满足4.等差数列{an}中，已知，，，则
5．已知，则的值为
6．的展开式中的常数项是（用数字作答）
7．如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是
8．函数在定义域内的零点的个数为
9.在直角中，，，，为斜边的中点，则=
10.若双曲线的一条渐近线方程为，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆方程为
11．已知命题“存在”是真命题，则实数的取值范围是__
12．设是实数．若函数是定义在上的奇函数,但不是偶函数,则函数的递增区间为
13.（理）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，，侧棱底面ABCD，若AB=BC=，则CD与平面PAC所成的角为
14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕着C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设的面积为，则的最大值为
二．选择题：
15.函数的图像（）
A．关于原点对称B.关于主线对称
C.关于轴对称D.关于直线对称
16.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为()
A．B.C.D.
17.在△ABC中，分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（）
A． B．4 C． D．2
18.设是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
三．解答题（本大题满分78分）
19．（本题满分1分．）
在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，
（1）若，，，求角的度数；
（2）若，，，求的值.
解：（1）
（2）得
[来源:Zxxk.Com]
20．（本题满分1分．）
如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，AF=AB=BC=FE=AD
(1)（理）求二面角A-CD-E的
（2）求五面体ABCDEF
解：AB、AD、AF分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
平面ACD的法向量
设平面CDE的法向量[来源:学.科.网]
令得：∴
设二面角A-CD-E的，则：
∴二面角A-CD-E的
（2）
21．（本题满分1分．）如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为和.
(1)若小路一端为的中点，求此时小路的长度；
(2)求的最小值．
解：(1)∵E为AC中点，∴AE＝CE＝.
∵＋3＜＋4，∴F不在BC上．
若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴AE＋AF＝5.
∴AF＝＜4.
在△ABC中，cosA＝.
在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，
∴EF＝即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．
(2)若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，
则x＋y＝5，
＝＝－1
＝－1
＝－1≥＝(当x＝y＝时取等号)；
若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，
设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，
＝＝－1＝－1≥＝(当x＝y＝时取等号)
答：最小值是.
22．（本题满分分．）已知方向向量为的直线l过椭圆的焦点以及点，直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为.
求椭圆C的方程
过左焦点且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，（O坐标原点），求直线m的方程
解：（1）
直线与x轴交点即为椭圆的右焦点∴c=2
由已知⊿周长为，则4a=，即，所以
故椭圆方程为（2）椭圆的左焦点为，则直线m的方程可设为
代入椭圆方程得：
设
∵
所以，，即
又
原点O到m的距离，
则
解得
23．（本题满分1分．）已知等比数列的首项，数列前n项和记为。
（1）数列
（2）求数列的最大项和最小项；
（）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差，证明:数列为等比数列。
解：
∴
（）
当n是奇数时，,单调递减，,
当n是偶数时，,单调递增，；
综上，当n=1时，;当n=2时，.
（）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.
①当n是奇数时，调整为.则
，，
成等差数列；
②当n是偶数时，调整为；则
，，
成等差数列；
综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列
①n是奇数时，公差；
②n是偶数时，公差.
无论n是奇数还是偶数，都有，则，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列.
第7题图
第13题图
第14题图
A
B
C
D
E
F
第20题图
第21题图
第7题图
第13题图
P
A
B
C
D
第14题图
A
B
C
D
E
F
第20题图
G
A
B
C
D
E
F
第20题图
G
x
y
z
第21题图
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