崇明县2012学年
（考试时间120分钟，满分150分）
考生注意：
本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（每题4分，共56分）
1、设复数为虚数单位，则.
2、已知且，则.
3、过点，且与直线垂直的直线方程是.
4、若集合，则等于.
5、已知是函数的反函数，则.
6、展开式中的系数是.（用数字作答）
、执行框图，会打印出一列数，
这个数列的第3项是.
8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为的
半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于.
9、数列的通项公式是前项和为，则.
10、已知：条件A，条件B：，如果条件是条件的充分不必要条件，
则实数的取值范围是.
11、在中，角所对边长分别为，若，则的最小值等.
12、在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量则点的坐标是.
13、数列满足，则的前项和.
14、,，对于任意，或成立；，使得成立.
二、选择题（每题5分，共20分）
15、设函数，则下列结论错误的
A．的值域为B．是偶函数
不是周期函数不是单调函数
16、下面是关于复数的四个命题：
①；；的共轭复数为；的虚部为其中正确的命题A．②③ B．①② C．②④ D．③④
17、等轴双曲线：与抛物线的准线交于两点，则双曲线的实轴长A． B． C．4 D．8
18、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为A． B． C． D．
三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）
19、（本题12分，第1)小题6分，第2)小题6分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域以及函数的单调区间
20、（本题14分，第1)小题6分，第2)小题8分）
如图，在长方体中,为中点（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小
21、（本题14分，第1)小题6分，第2)小题8分）
已知数列，记,
,，并且对于任意，恒有成立（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；
（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列
22、（本题16分，第1)小题4分；第2)小题6分；第3)小题6分）
设函数.
（1）当时，求函数在区间内的零点；
（2）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围．
23、（本题18分，第1)小题6分；第2)小题12分）
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相于点试探究：以为直径的圆与轴的位置关系？
在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由
上海市崇明县2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案
一、填空题
1、2、3、4、5、
6、107、308、9、10、
11、12、13、183014、
二、选择题
15、16、17、18、
三、解答题
19、
（2）因为，所以,所以
函数的增区间为，减区间为
20、（1）方法一、以A为坐标原点，以AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系,设，，。
另解：为正方形，，。。
（2）因为
所以取面AB1E的一个法向量为，同理可取面A1B1E一个法向量为，
设二面角A-B1E-A1为，则，即二面角A-B1E-A1的大小为.
22、解：（1），令，得，
所以。，。。在内存在零点。
，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。
（3）当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.
据此分类讨论如下：
①当，即|b|＞2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。②当－1≤＜0，即0＜b≤2时，M＝f2(1)－f2()＝(＋1)2≤4恒成立．
③当0≤≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2()＝(－1)2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.注：②，③也可合并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者．
当－1≤≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2()
＝＝1＋c＋|b|－(＋c)
＝(1＋)2≤4恒成立．
，椭圆E的方程为
（2）①由，
由直线与椭圆相切得
求得，，轴距离。轴相交。②假设平面内存在定点满足条件，对称在轴上，设点坐标，得
所以，
所以定点为。
崇明县2013数学一模（理科）试卷与答案
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F2
F1
O
B
A
x
y
C1
B1
D1
A1
D
E
C
B
A
第题图
否
是
开始
结束
N≤10
A←3,N←1
N←
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