2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（理科）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．
3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若（为虚数单位），则___________．
2．已知集合，，则_____________．
3．函数的最小正周期是___________．
4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
5．在等差数列中，，从第项开始为正数，
则公差的取值范围是__________________．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的的
值为_____________．
7．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的体积是________．
9．点是曲线上的一个动点，且点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________________．
10．在△中，已知，，且△最大边的长为，则△最小边的长为____________．
11．将直线：，：，：（，）围成的三角形面积记为，则___________．
12．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是___________．
13．观察下列算式：
，
，
，
，
…………
若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．
14．设、，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程（）有实数解，则的取值范围是___________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知，条件：，条件：，则是的…………………（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．以下说法错误的是………………………………………………………………………（）
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
17．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，．有四个命题：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是……………………………………………………………（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
18．设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为……………………（）
A．B．C．D．
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
设复数，其中，，为虚数单位．若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图，在三棱锥中，底面，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求三棱锥的表面积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，．
（1）求、的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设，函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．
上海市嘉定区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1．2．3．4．
5．6．7．8．
9．10．11．12．
13．14．
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．A16．C17．B18．D
三．解答题
19．（本题满分12分）
方程的根为．………………（3分）
因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………（5分）
所以，解得，因为，所以，……（8分）
所以，所以，故．…………（11分）
所以，．…………（12分）
20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）
（1）取中点，中点，中点，
连结，，，则∥，∥，
所以就是异面直线与所成的角（或
其补角）．…………（2分）
连结，则，……（3分）
，…………（4分）
又，所以．…………（5分）
在△中，，……（7分）
故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）
（2）因为底面，所以，，，
又，所以平面，所以，…………（2分）
所以△、△、△、△都是直角三角形．……（3分）
所以，．……（6分）
21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）将与代入椭圆的方程，得
，…………（2分）
解得，．…………（5分）
所以椭圆的方程为．…………（6分）
（2）由，知在线段的垂直平分线上，
由椭圆的对称性知、关于原点对称．
①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时
．……（1分）
同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时
．……（2分）
②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），
则直线的方程为．设，，
由，解得，，……（4分）
所以，同理可得，
所以．……（7分）
综上，为定值．…………（8分）
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
（1）由题意，得，……（2分）
即，解得．…………（4分）
（2）由（1）知，①
当时，②…………（1分）
①－②，得（），又，…………（3分）
所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（4分）
所以的通项公式为（）．…………（6分）
（3）由（2），得，…………（1分）
由，得，即，
即．因为，所以，
所以且，（）
因为，所以或或．……………………（2分）
当时，由（）得，所以；…………（3分）
当时，由（）得，所以或；…………（4分）
当时，由（）得，所以或或．…………（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：
，，，，，．…………（6分）
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当，时，…（2分）
作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）
（2）……（1分）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．…………（3分）
②当时，，
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）
综上，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是．………………（6分）
（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．…………（5分）
令，在时是增函数，故．…………（7分）
所以，实数的取值范围是．…………（8分）
嘉定区2013数学一模（理科）试卷与答案
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x
y
a
O
y
x
M
B
A
O
E
F
C
B
A
P
G
y
x
M
B
A
O
C
B
A
P
（第6题图）
否
是
输出
结束
开始
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