浦东新区2012学年度第一学期期末质量抽测
高三数学试卷(理科)2013.1
注意:1.答卷前,考生务必在上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2.本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.若集合,,则实数
2.已知二元一次方程组的增广矩阵是,则此方程组的解是
3.函数的定义域
4.已知,且,则的最大值为
5.函数()的反函数是
6.函数的最小正周期为
7.等差数列中,,则该数列的前项的和
8.已知数列是无穷等比数列,其前n项和是,若,,则
的值为
.若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为
1.二项式的展开式前三项系数成等差数列,则
.已知甲射手射中目标的频率为,乙射手射中目标的频率为,如果甲乙两射手的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为
1.已知向量与,,,、的夹角为,当时,的最大值为
1.动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动,点作垂直于面的直线与正方体表面交于,,则函数的解析式为
14.共有种排列),其中满足“对所有都有”的排列有种
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.
1.已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b,则“”是“”的()
充分非必要条件必要非充分条件充要条件非充分非必要条件
1.已知函数,若函数为奇函数,则实数为()??????????????????????????????????
17.若,,,…,的方差为,则,,,…,的方差为()
18.定义域为的函数图象的两个端点为,向量,是图象上任意一点,其中。若不等式恒成立,则称函数在上满足“范围线性近似”,其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值.下列定义在上函数中,线性近似阀值最小的是()
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
19.(本小题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
如图,直三棱柱中,,
求点到平面的距离;
求二面角的大小。
20.(本小题满分14分,第1小题满分分,第2小题满分分)
世博中学为了落实上海市教委推出“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身,M在上,N在上,且P点在斜边上,且米,。
(1)试用表示的取值范围;
(2)矩形健身,再把矩形(为正常数),求总造价关于的函数;试问如何选取的长使总造价最低。21.(本小题满分14分,第1小题满分分,第2小题满分分)
已知复数。
(1)若为实数,求角的值;
(2)若复数对应的向量分别是,使等式,求实数的取值范围。
22.(本小题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分分)
定义数列,如果存在常数,使对任意正整数,总有成立,那么我们称数列为“摆动数列”.
(1)设,),,判断数列、是否为“摆动数列”,并说明理由;
(2)已知“摆动数列”满足,,求常数的值.(3)设,且数列的前项和为,求证:数列是“摆动数列”,并求出常数的取值范围。
23.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分分,第3小题满分分)设函数
(1)求函数和(2)是否存在非负实数,使得恒成立,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由(3)定义,且
①当时,求的解析式已知下面正确的命题:
当时,都有恒成立.
②对于给定的正整数,若方程恰有个不同的实数根,确定的取值范围;若将这些根从小到大排列组成数列,求数列所有项的和.
3、
4、
5、()
7、52
8、
9、
10、8
11、0.98
12、
13、或给分
14、
二、选择题
15、A
16、C
17、D
18、D
三、解答题
19、解:(1)
-------3分
设点到平面距离为
由
点到平面距离为-------6分
(2)设的中点为,连结
是二面角的平面角-------8分
二面角的大小为。-------12分
解:(1)中,显然,
所以-----2分
矩形的面积------4分为所求--------6分(2)矩形健身--------------7
又的面积为,
即草坪造价,--------8分
所以,-------------10分-------------11分即时等号成立---------12分,解得或,
所以选取的长为12米或18米时总造价最低。---------------14分解:(1)
=
…………………………………4分
又,,……………6分
(2),,
得…………………………………12分
因为所以
只要即可,………………………………13分
解得或…………14分
22、(1)解:假设数列是“摆动数列”,
即存在常数,总有对任意成立,
不妨取时则,取时则,显然常数不存在,
所以数列不是“摆动数列”;……………………………………
由,于是对任意成立,其中
所以数列是“摆动数列”。……………………………………
(2)由数列为“摆动数列”,,
即存在常数,使对任意正整数,总有成立
即有成立
则,……………………
所以……………………
同理……………………
所以解得………9分
同理解得……………………10分
综上;……………………
(3)证明:由,……………………
显然存在,使对任意正整数,总有成立,
所以数列是“摆动数列”;……………………
当为奇数时递减,所以,只要即可
当为偶数时递增,,只要即可
综上,的取值范围是。……………………
(取中的任意一个值,并给予证明均给分)如取时,
因为,
存在,使成立,
所以数列是“摆动数列”;
23.(1)解:函数单调递增区间
函数)单调递增区间
(2)解:,
当时,显然恒成立
当时,显然恒成立
综上可知当或时,恒成立
(3)解:①当时,对于任意的正整数,都有
故有
②由①可知时有,根据命题的结论可得
当时,
故有
因此同理归纳得到,当时,
对于给定的正整数,时,解方程得,
,要使方程在上恰有个不同的实数根,
必须恒成立,解得
若将这些根从小到大排列组成数列,由此可得
故数列所有项的和
浦东区2013数学一模(理科)试卷与答案
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