2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷（理科）
（考试时间：120分钟，满分150分）2013.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．方程组的增广矩阵是__________________.
2.已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________.
3．若为第四象限角，且，则___________.
4．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是.
5．函数的部分如图所示，则是直线的一个法向量，则直线的倾斜角的大小为_________________.
(结果用反三角函数值表示)
7．不等式的解为的结果是_________.
10．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是.
11.若平面向量满足且,则可能的值有____________个.
12．在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________.
13．函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.
14．已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，
那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列排列数中，等于的是（）
(A)(B)(C)(D)
16．在中，“”是“”的（）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
17．若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是（）
(A) (B) (C) (D)
18．对于直角坐标平面内的点(不是原点),的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点.若是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”（）
(A)一定共线(B)一定共圆
(C)要么共线，要么共圆(D)既不共线，也不共圆
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
已知，实数使得集合满足，
求的取值范围(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数=.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围.
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
（理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为(假定四个轮胎中心构成一个矩形).当该型号汽车开上一段上坡路（如图(1)所示，其中()）,且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路).设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且,.(其它因素忽略不计)
(1)如图(2)所示，和的延长线交于点，
求证：(cm)；
(2)当=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米?(精确到1cm)
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分6分.
已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.
对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题.为此，他任取了其中三项.
(1)若成等比数列,求之间满足的等量关系；
(2)他猜想：“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”，为此，他研究了与的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
(3)他又想：在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
上海市徐汇区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案
填空题：（每题4分）
1.2.3.4.8
5.2sin6.arctan7.x0
8.9.110.0
11.312.13.114.5
选择题：（每题5分）
15.C16.B17.A18.C
解答题
19.解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分
a5时，B=，满足AB；…………………………………..6分
a<5时，B=，由AB，得a4，故4a<5，……………..10分
综上，得实数a的取值范围为a4.……………………………………………..12分
20.解：(1)f(x)的定义域为……………………………………………..2分
f(-x)=log2=log2=-f(x)，
所以，f(x)为奇函数.………………………………………..6分
(2)由y=，得x=,
所以，f-1(x)=,x0.……………………………………..9分
因为函数有零点，
所以，应在的值域内.
所以，log2k==1+,………………….13分
从而，k.……………………………………………..14分
21．解：(1)由OE//BC，OH//AB，得∠EOH=，………………………..2分
过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则
RtOMBRtONB，从而
∠BOM=.……………………………..4分
在RtOMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=OM+BS=.………………………………..6分
(2)由(1)结论得OE=
设OH=x，OF=y,
在OHG中，由余弦定理得,
2802=x2+(+100)2-2x(+100)cos1500,
解得x118.8cm.………………………………………………………………..9分
在OEF中，由余弦定理得,
2802=y2+()2-2y()cos1500,
解得y216.5cm.…………………………………………………………..12分
所以，FH=y-x98cm，
即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm.………………………14分
22．解:(1)由，得…………………………………..2分
a2=2,b2=1
所以，椭圆方程为.………………………………………..4分
(2)由，得(m2+2)y2+2my-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由条件可知，点.
=|FT||y1-y2|==…..6分
令t=，则t，
则==，当且仅当t=，即m=0
(此时PQ垂直于x轴)时等号成立，所以的最大值是.…………..10分
(3)与共线………………………………………………………………..11分
(x1,-y1)，=(x2-x1,y2+y1)，=(x2-2,y2)……………………………..12分
由(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)
=-x1y2-x2y1+2(y1+y2)[
=-(my1+1)y2-(my2+1)y1+2(y1+y2)
=-2my1y2+(y1+y2)
=-2m+
=0，所以，与共线…………………………………………………..16分
23．解:(1)由已知可得：,………..…..1分
则,即有,………….………….…..3分
，化简可得..…………………………..4分
(2),又,
故,……………..6分
由于是正整数，且，则,
又是满足的正整数，则,
,
所以，>,从而上述猜想不成立.…………………………………..10分
(3)命题:对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列.………..……..…………..13分
此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一:只要证明对任意正整数n,都在数列{an}中.因为bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+…+dn)=a(Md+1)，这里M=+d+…+dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1项，证毕.……………..18分
证法二：首项为,公差为()的等差数列为,考虑数列中的项:
依次取数列中项,,
,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列....18分
徐汇区2013数学一模（理科）试卷与答案
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