上海市杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷(理)
2013.1.
考生注意：的反函数为，则．
2．若复数(为虚数单位)，则.
3．抛物线的焦点到准线的距离为.
4.若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．
5．若直线:，则该直线的倾斜角是.
6.若的二项展开式中，的系数为，则实数．
7.若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为
.
8.设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前项的和______________．
9.下列函数：①,②,③，④
⑤中,既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为（写出符合要求的所有函数的序号）.
和，
则函数图像与轴无公共点的概率是_______.
11.若函数()的图像过定点,点在曲线
上运动,则线段中点轨迹方程是．
12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，
其中米，米.为了合理利用这块钢板,将在五边
形内截取一个矩形块，使点在边上.
则矩形面积的最大值为____平方米.
13在中，若，，，
则的面积为___________．中，直线与圆相切，其中
，．若函数的零点，,
则________．”是“函数在区间内单调递增”的………（）
充分非必要条件．必要非充分条件．
充要条件．既非充分又非必要条件．
16．若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，
()，则复数在复平面上对应的点位于………（）
第一象限．第二象限．第三象限．第四象限．
17．若、为双曲线:的左、右焦点，点在双曲线上，
∠=，则到轴的距离为………（）
．．．．
18.已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列）.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为保比差数列函数.现有定义在上的如下函数：①，②，③，④，则为保比差数列函数的所有序号为
①②．③④．①②④．②③④．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，在三棱锥中，平面，，，,
分别是的中点，
（1）求三棱锥的体积；
（2）与所成角的大小为，求的值.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知，
（）的最小正周期和单调递减区间；
（），的最大值及取得最大值时对应的的取值．的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.
若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.
若直线的斜率之和为0，求证：为定值.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数的值域为集合，
（1）若全集，求；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；
（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：
其中.
（1）若，求数列；
（2）当时，对任意的，都有，求实数．
（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．
上海市杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)
参考答案
一．填空题:
1.0；2．；3．2；4.（向量表示也可）；5．；6.；7.
8.2013；9.③⑤；10.；11.
12．48；13．；14．0；
二、选择题:
15．；16．；17．；18.．
三、解答题
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
(1)由已知得，………2分
所以，体积………5分
(2)取中点，连接，则，
所以就是异面直线与所成的角.………7分
由已知，，
.………10分
在中，，
所以，.………12分
(其他解法，可参照给分)
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解：（）因为
2分
4分所以,，即函数的最小正周期为分
所以的单调递减区间为………7分（）因为，得，
所以有………8分
，即………10分
所以，函数的最大值.………12分
此时，因为，所以，，即.14分
的方程为，由题意知：左焦点为
所以，………4分
，．
故椭圆的方程为．………6分，，
由：，，………8分
所以，即，………11分，
所以，又因为直线的斜率之和为0，
所以………14分：，代入椭圆，得到
，化简得
(以下略)
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
(1)由已知得，，则………1分时，即等号成立，
………3分………4分………5分在的最大值为………9分………10分，则直线的方程为，
即，………11分得………13分，………14分，，故………16分解：（1），，
，则
所以（2），所以，所以，
①当时，，所以，
解得（舍去）②当时，，所以，
解得（舍去）当时，，所以，
解得（舍去）综上，，.………10分
（3）成立是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）.………12分
①由，可得；………13分
②若，设（，是非负整数）
则，而由得
，故，，可得………14分
若则，………15分
若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，
但小于的正整数共有个，矛盾.………17分
故中至少有一个为0，即存在，使得.
从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.
（法，数学归纳法）
杨浦区2013数学一模（理科）试卷与答案
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