上海市黄浦区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题相应编号的空格内直接写结果，每填对得4分，否则一律得零分．
；2．2；3．；4．3；5．36；6．；7．；8．；
9．；10．；11．；12．；13．；14．．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
，由、分别为线段、的中点，
可得∥，故即为异面直线与所成的角．中，∵平面，
平面，∴，
在△中，，，
∴，∴．
所以异面直线EF与BC所成的角为．………6分
（2）在正方体中，由平面，平面，
可知，∵，是中点，
∴，又与相交，∴平面，…………………………9分
又，
故，
所以三棱锥的体积．A、B、C成等差数列，∴
又,∴，…………………………2分
由得，，∴①………………………4分
又由余弦定理得
∴，∴②………………………6分
由①、②得，……………………………………8分
（2）由（1）得，∴，即，
故=……………………………10分
=，…………………………12分
由且，可得，∴，
即，∴的取值范围为．…………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
解：（1）由△NDC∽△NAM，可得，
∴，即，……………………3分
故，………………………5分
由且，可得，解得，
故所求函数的解析式为，定义域为．…………………………………8分
（2）令，则由，可得，
故…………………………10分
，…………………………12分
当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．
故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米．…………14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解：（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．………………4分
（2）由题意，可设，则有，
又A点坐标为，故，
故
,…………………………8分
又，故，
所以的取值范围是．…………………………10分
（3）设，则．
当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．
当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，
则的方程为，代入椭圆方程可得
，即，
由，…………………………13分
可得，其中，
设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，
故，即．
综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．………………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
解：（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴是公差为1的等差数列，
故，又，故．………………………………3分
（2）当时，，令，可得，
解得，即时，，………………………4分
故在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…，…………………6分
故为奇数时，在上的取值范围是；
当为偶数时，在上的取值范围是．…………………8分
所以当时，在上的最大值为，最小值为3；
当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；
当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为．………10分
（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，
即恒成立，令，可得，
即对一切恒成立，
所以…，
故．…………………………………14分
若，则必存在，使得，
由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分
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