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千万黑洞数模块辅导教程 模块背景：在茫茫宇宙里，存在着一种叫“黑洞”的天体。它是由高密度物质组成，任何物质只要靠近黑洞就会被“吞噬”，连光线射到这个天体上都会被吸收掉，不能反射。人们看不见这个天体，所以称它为黑洞。无独有偶，在数字王国里也存在着许多“数字黑洞”，如果一个数字“公民”，任凭一种运算或规则的摆布，就会掉进“黑洞”，无法自拔。让我们一起探寻一下“数字黑洞”形成的秘密。 一、搜寻黑洞数。下面给大家介绍一种寻找“黑洞数”的一般方法：排序求差法。 规则是，任取一个正整数（要求数字不完全相同），把它的各位数字按从大到小重新排列，再把它的各位数字按从小到大重新排列，分别组成最大数和最小数，并用最大数减去最小数，对所得的差重复上述过程。如果持续不停地重复下去，就会找到黑洞数。 （1）以67为例，探寻两位数的“黑洞数”： 所以两位数的“黑洞数”是：9，81，63，27，45组成的“漩涡型黑洞数”。 （2）以103为例，探寻三位数的“黑洞数”：103→297→693→594→495→…… 所以三位数的“黑洞数”是：594。 （3）以3109为例，探寻四位数的“黑洞数”：3109→9171→8532→6174→6174→…… 所以四位数的“黑洞数”是：6174。 如果大家有兴趣，可以尝试用其数字去探询黑洞数。在探寻的过程中，你会体验到被“黑洞”吸引的感觉，这就是数学的神秘之美。 二、小心啊！ 你的生日离黑洞有多远！ 有一位网友，说他爷爷今年85岁了，没有受过高等教育，但对很多知识都很感兴趣，去年7月的一份报纸中，让他对黑洞数琢磨良久。据贵报2007年7月27日生活家游戏版《黑洞数6174》，爷爷发现一个有趣的现象，发现如果数字符合以下情况可以一次相减得到黑洞数6174。举例如下：9863－3689=6174；8532－2358=6174；7311－1137=6174；6640－0466=6174；6200－0026=6174；7421－1247=6174；9973－3799=6174；这位老人发现这七个数字，与黑洞数6174只差一步之遥，真是太玄了。我们规定每个人的生日都是四位数，如10月12日，可组成1012，但6月28日，组成了628，但我们把它看成四位0628，进行排序求差的演算得：628→8620-268＝8352→8532-2358＝6174，这个具有两个完全数组成的生日，离黑洞数只有两步啊！而1012是四步。大家试试，你的生日离黑洞有多远？ 定理：任意取一个四位数,经过至多7次排序求差的演算,必定能得到6174。 证明:设A>B>C>D ，第一次操作可能出现7种情况: (1)AAAB-BAAA ；(2)ABBB-BBBA ；(3)AABB-BBAA ；(4)AABC-CBAA ；(5)ABBC-CBBA ；(6)ABCC-CCBA ；(7)ABCD-DCBA 。 考虑(1),AAAB-BAAA的个位数为10+B-A,十位,百位都是9,千位是A-B-1 ； 考虑(2),ABBB-BBBA的个位数为10+B-A,十位,百位都是9,千位是A-B-1 ； 考虑(3),AABB-BBAA的个位数为10+B-A,十位为9+B-A,百位是A-B-1,千位是A-B ；；考虑(4),AABC-CBAA的个位数为10+C-A,十位为9+B-A,百位是A-B-1,千位是A-C ； 考虑(5),ABBC-CBBA的个位数为10+C-A,十位,百位都是9,千位是A-C-1 ； 虑(6),ABCC-CCBA的个位数为10+C-A,十位为9+C-B,百位是B-C-1,千位是A-C ； 考虑(7),ABCD-DCBA的个位数为10+D-A,十位为9+C-B,百位是B-C-1,千位是A-D 。 注意到(1)中操作后新四位数的千位,个位的和为9,因此新四位数只可能是0999,1998,2997,3996,4995(后面的5994,6993,7992,8991,9990可以不用考虑,因为下次操作时4995,5994计算结果相同,其余类似) 。同理(2),(5)中操作后新四位数和(1)一样；(3),(4),(6),(7)中操作后新四位数的千位,个位的和为10,百位,十位的和为8,因此新四位数只可能是： 所以我们只需验证下面这30个数经过不超过6次操作后可以得到6174即可 。 将30个数分为6个集合 ：S（1）={4176,2358} ；S（2）={1179,1269,2088,3087,3357,4266} ； S（3）={1089,4356,1998,3996} ；S（4）={0999,2268,3177,3447,4446,5265,5355,5445} ；S（5）=[2997,4995,2178,3267} ；S（6）={1359,1449,2448,4086,5085,5175} 。 则S(i+1)中的任意一个元素经过一次操作后,新四位数作适当排列可以得到S（i）中的某一个元素,且S（1）中的任意一个元素经过一次操作后必定得到6174。 定理2： 对任一个各位数字不全相同的三位数，施行如下的“重排求差”运算:将其各位数字按由大到小和由小到大的顺序从左到右重新排列，各得一个三位数，然后前者减去后者，得一数.对此数再施行上述“重排求差”运算.证明经如此有限次运算后，最后必得495。 证明：事实上，对任一个各位数字不全相同的三位b3b2b1，不妨设b3≥b2≥b1， b3≠b1则 b3b2b1一b1b2b3- (b3一1一b1 )9(10+b1一b3). 其中间一位数字必为9，首末两位数字之和也为9，因而只要考察如下6个数: 990, 891，792. 693, 594, 容易验证，对这5个数中的任一个数，施行有限次(不会超过5次)“重排求差”运算后，必得495。 三、黑洞数的性质：黑洞数问题是近几十年来有趣数学问题。它已引起国内外数学界的广泛注意和研究。我们可以从黑洞数的性质人手，另辟一径进行研究，很快就能得到二位到八位的全部黑洞数，并第一个发现了黑洞数的神奇衍生法，从而把黑洞数问题的研究推向更深层次。 首先给出黑洞数的几个重要性质： 性质1 ：黑洞数一定能被9整除。 证明: 由于一个数N，与它的数字和同余（mod9），而排序求差，不改变数字的组合，大数和小数同余，因此两个数的差必定被9整除，所以黑洞数能被9整除。 性质2：奇数位黑洞数必定能被99整除，而且中间位数字bm=9。 证明: 把一个数N由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，设为r，那么这个差与原数同余，即N≡r（mod11），奇数位黑洞数排序求差的大数与小数，除以11的余数相同，因此它们的差是11的倍数。由性质1，黑洞数一定能被9整除。所以奇数位黑洞数必定能被99整除。又因为求差时中间数字相同，求差结果必定是9。 性质3:黑洞数Nm =b1b2……bm(m≥4)只能属于下列二种情况之一 (1)b1+bm＝10; (2)b1+bm ＝9且b2＝b3=……bm-1=9。
三、各位黑洞数的寻找：二位数，三位黑洞数只须从能被99整除的三位数，四位以上的黑洞数只须从能被9整除(奇位黑洞数能被99整除且中间位数字是9)且首末位数之和等于10的数中去寻找就行了。再注意到一个数能被9整除的充要条件是该数各位数字之和能被9整除，以及排序求差运算仅与数码有关而与数的大小无关，我们就得到下面的 结论： 二位黑洞数只能由18，27，36，45经过排序求差运算产生，简单计算后得到一个黑洞圈((5个黑洞数组成):（63，27，45 ,09，81）; 三位黑洞数只能由198，297，396，495经过排序求差运算产生，计算后仅有一个黑洞数495; 四位黑洞数只能从下列的数经排序求差运算产生:1ij9,2ij8, 3ij7, 4ij6, 5ij5(这里i=0,1,2,3,4且i=8-j;或者i=8而i=9)，计算后也仅有一个黑洞数6174; 五位黑洞数只能从下列的数经排序求差运算严生:1i9j9,2i9j8, 3i9j7, 4i9j6; 5i9j5(这里i=0,1,2,3,4且j=8-i;或者i=8而j=9)，计算后得到三个黑洞圈共10个黑洞数): (1) 83952, 74943, 62964, 71973; (2) 82962, 75933, 63954, 61974; (3) 53955, 59994; 六位黑洞数只能从下列的数经排序求差运算产生:1ijkl 9,2ijkl8, 3ijkl7, 4ijkl6, 5ijk15,(这里i.＝0，1，2，3，4,j =0, l,2,3,4，而k=8-j,1=9-i) ,还可以这样产生： 1i99j9,2i99j8,3i99j7.4i99j6,5i99j5；(这里的i=8-j)计算后得到三个黑洞圈: (1) 420876, 851742, 750843，840852, 860832,862632, 642654; (2) 549945; (3) 631764; 仿此计算，不难发现七位数只有一个黑洞圈: 8429652，8719722，7619733，8649432，8439552，7519743，7509843，9529641。 八位数则有四个黑洞圈: (1) 85317642, 75308643, 84308652, 86308632，86326632. 64326654. 43208766:； (2) 64308654, 83208762, 86526432; (3) 63317664; (4) 97508421; 九位数只找到一个黑洞数：864197532, 十位数也只找到一个黑洞数9753086421。 五、黑洞数的神奇衍生法 在深人研究了二位-一八位的黑洞数的结构后，结 合上述三个性质，我们发现了黑洞数的有趣衍生法，即一些黑洞数(圈)，它们可按照一定的规则，奇迹般衍生出一系列更多位的黑洞数(圈)来。若一个黑洞数(圈)有二种以上的衍生法，则其中每一个黑洞数(圈)也必然能按照这几种衍生法，分别产生出高位黑洞数(圈)。 方法1：由495衍生而成(每段插入k一1个数码)，即99…95…54…4-4…45…59…9 ＝5…549…9 94…45 (k=1,2,3,，…)，即就是495依次间隔地插人了k-1个5,k-1个9和k-1个4得到的(不妨称为A型衍生法); 方法2：(2)N2k+2=63…3176…6 4，是一个2K+2位黑洞数，它是由黑洞数6174其间对称地插人k-1个3和k-1个6得到的(不妨称为B型衍生法); 方法3： 99…975084200…01是 一个2k+6位黑洞数，它是由黑洞数97508421其间对称地插人k-1个9和0得到的(不妨称为C型衍生法); 方法4：555430865444,832110888762,877652643222，也是一个2k+6位的黑洞圈，它是由八位黑洞圈64308654, 83208762, 86526432；依次对称地插人k-1个5-4,k-1个1-8和k-1个7-2得到的(不妨称为D型衍生法); 以上结论，都不难由黑洞数的定义直接验证，读者可自行证明。 例1：九位黑洞数864197532用A型与B型衍法，可得一个9k位黑洞数： N9k=8… 886…664…442…219…997…775…553…331…12 和一个2k+7位黑洞数：N2k+7=8643…3 1976…6532。 例2：(851742,750843, …,420876)，循环周期m＝7，可衍生而成为：(853…3176…642，753…3086…64343…320876…66)为由(6174)衍生的黑洞数(63…3176…64)。 例 3：由(97508421)衍生的2k+6位黑洞数为(99…97508420…001).。 例4：由(64308654,83208762,86526432)衍生的为:(65…54308654…44,8321…1088…8762，87…76526432…22).是2k+6位。 悬而未能解决的问题:(1)黑洞数除了上述四种衍生法，还有别的衍生法吗?(2)为什么有些黑洞数(圈)不能用这四种衍生法产生新的黑洞数(圈)?例如前面所述的五位的三个黑洞圈，七位的一个黑洞圈，以及下列的11位黑洞圈等:86330986632, 96532966431,87331976622, 86542965432,76320987633，96442965531，87320987622, 966539543310。 习 题 1. 什么叫黑洞数？有没有一位黑洞数？ 2. 请你验证864197532是黑洞数。 3. 你把你的生日当作三位数，或四位数，进行排序求差演算，看几步能得到黑洞数？ 4. 黑洞数有几种衍生法？6位黑洞数549945，与三位黑洞数有什么关系？ 请寻找11位黑洞数。 电子表格模块操作指南
一、第一关：一位黑洞数，只有一种情况。
二、第二关：二位黑洞数
三、第三关：三位黑洞数，可用函数MOD(A3,10)，MOD(INT(A3/10),10)，=MOD(INT(A3/100),10)来分解三位数，用函数LARGE(B3:D3,1)排序。用函数(E3&F3&G3)-(G3&F3&E3)进行排序求差，用函数IF(H3<100,0&H3,H3)保证位数为三位，用函数IF(H8-495=0,1,'')、MIN(AW3:BB3)，来寻求该数与黑洞数的距离。寻求三位黑洞数需要计算6次。
四、第四关：四位黑洞数。可用函数MOD(A3,10)，MOD(INT(A3/10),10)，=MOD(INT(A3/100),10)，INT(A3/1000)来分解四位数，用函数LARGE(B3:E3,1)排序。用函数(F3&G3&H3&I3)-(I3&H3&G3&F3)进行排序求差，用函数IF(J3<1000,0&J3,J3)保证位数为四位，用函数IF(H8-6174=0,1,'')、MIN(AW3:BB3)，来寻求该数与黑洞数的距离。寻求四位黑洞数需要计算7次。
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