高等数学终极大串讲(上)

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文末有加入串讲的报名方式.

本文主要包括如下几个部分:

    1、2种串讲：学渣版；学霸版.

    2、5个专题：求极限、中值定理等.

    3、26种题型 & 100道基础题.

高等数学用一句话来概括就是：极限为源，函数为体，算子为用！

极限是整个高等数学的思想源泉，算子(微分&积分)的作用对象为函数，而高等数学研究的则是函数在希尔伯特空间中的各种算子.

1、高等数学串讲(学渣版)

任何有极限的函数都伴随着一个无穷小，故极限理论也称为无穷小分析. 

当自变量的增量△x是无穷小时，如果函数的增量△y也是无穷小，这样的函数就是连续函数，其在高等数学中的重要性表现为如下几方面：

有了连续的概念，我们就可以在(a.e.)连续的函数基础上讨论微分&积分.

导数、微分、不定积分&定积分之间的关系为：

2、高等数学串讲(学霸版)

串讲对一个定理进行抽丝剥茧、深入浅出地分析，牵一发而动全身地引出所有的核心概念、定理、公式.  以思想提炼方法、以方法导向题型、以专题带动知识点！

我们不生产分数，也不保证你看了之后期末就不挂科或拿奖学金，但我们坚信你必将对高等数学有更加深刻地认知，通过后期的努力，并有望达到融会贯通豁然开朗之境界.

3、专题系列

3.1  求极限

极限计算的基本步骤包括：

• 先化简

  1、代数三角恒等变形：提公因子、因式分解、拆项合并、等比等差数列求和、三角公式等.

  2、随时记得“四化”：非零因子淡化（即把非零因子求出来）；零因子使用等价无穷小替换进行简化；无理式有理化；幂指函数指数对数化.

• 再定型

      七大未定型：

• 最后定法

  学渣级：四则运算、洛必达法则、两个重要极限、变量代换等；

  学霸级：中值定理、泰勒公式、定积分定义、夹逼准则等.

3.2  导数的计算&应用

3.3  中值定理的应用

关于高等数学课程，大家最怕面对的几乎都是和中值定理相关的证明题，因为它的技巧太强了.

此类题目几乎都有一个共性，就是要构造辅助函数. 我们独创的“搭桥法”中的“桥”指的就是辅助函数. 之所以这样比喻，是因为做此类题就如同过河，若是没有一座桥，我们只能“望河兴叹”！

既然是搭桥，那么如何设计桥、搭几座桥、桥墩位置如何选择等就显得至关重要了. 桥搭得好，证明顺畅自如；桥搭得不好，证明则一筹莫展.

中值定理证明28字口诀：

中值一变积作桥，重搭同型双项分.

并肩不得叠双翼，同值一导逐步成.

泰勒公式太过强大，如果你不想拿高分就直接跳过吧！

3.4  不定积分的计算

关于不定积分我们总结提炼成24字的口诀：

甲求导后得乙，无理变成有理.

三指凑成一类，幂次化出整倍.

3.5  关于定积分的综合题

定积分方面的题目综合性都比较强，我们主要讨论定积分的计算、证明和应用.

4、高频考点

直接计算各种极限、极限的局部逆问题（给定极限值或函数的连续点反过来确定式子中的常数）、无穷小阶的比较和确定、讨论函数的连续性、判断间断点的类型、讨论函数的零点或方程根的个数.

导数与微分的求解、隐函数求导、分段函数和绝对值函数的可导性、洛必达法则、函数极值、方程的根、证明函数不等式、中值定理的应用、用导数研究函数性态并描绘函数图像、求曲线渐近线.

不定积分、定积分及广义积分的计算、变上限积分的求导&极限等、积分中值定理和性质的证明题、定积分的应用.

5、26种常见题型

• 无穷小的比较或确定无穷小的阶

• 求未定式函数极限(专题)

• 求分段函数在分界点的极限

• 极限式中常数的确定

• 求数列极限

• 函数连续性的讨论

• 确定函数的间断点及其类型

• 求含有抽象函数的0/0型极限

• 与抽象函数的导数相关的命题

• 判断函数的可导性

• 求各种函数的导数(专题)

• 计算高阶导数

• 与原函数相关的命题

• 各种函数的不定积分(专题)

• 定积分的估值

• 变限积分的求导问题

• 求分段函数的定积分

• 求含有绝对值符号的定积分

• 求被积函数中含有变上限积分的定积分

• 定积分等式的证明

• 定积分不等式的证明

• 闭区间上连续函数命题的证明

• 中值定理的应用(专题)

• 导数的应用

• 方程的根

• 定积分的应用

6、基础过关100题

广而告之