工具变量不太外生的时候怎么办？

工具变量不完全外生的时候怎么办？

当模型中存在内生的解释变量时，寻找合适的工具变量是最为常用的方法。一个有效的工具变量必须满足两个条件。首先，工具变量必须和内生解释变量相关，这一点通常比较好满足。其次，工具变量必须满足排他性约束（exclusion restriction），即工具变量与其他可能影响被解释变量的扰动项不相关。排他性约束意味着，工具变量只能通过影响内生的解释变量进而影响我们关心的结果变量，而不能经由其他的渠道对结果变量产生影响。研究者们通常需要花费大量的时间和精力向读者证明，他们使用的工具变量能够满足排他性约束。如果做了很多努力仍然无法证明工具变量严格外生时应该怎么办呢？

Conley等人2012年发表在The Review of Economics andStatistics上的文章提供了一种解决办法。Conleyet al. (2012) 放松了工具变量的排他性约束，假定工具变量可以是近乎外生的（Plausibly Exogenous）。让我们通过下面的模型来理解这种方法的精髓：

Y=Xβ+Zγ+ε （1）

X=ZП+V （2）

在（1）式和（2）式中，Y是结果变量， X是内生变量矩阵， Z是工具变量矩阵。ε和V是扰动项。传统的模型要求Z满足排他性约束，即γ=0。现在放松排他性约束，假定γ很接近于0，但是可以不必严格等于0。此时，利用先验信息对γ的取值或分布情况进行一定的设定，也能估计出我们感兴趣的参数β。当β和γ都是向量时，可以证明：

（3）

从（3）式可以看出，当γ较小时，仍然比较接近于真实值β。（3）式还可以反映出弱工具变量问题对估计结果造成的影响。当Z和X的相关性很小，即П很小时，γ/П将变得很大，从而带来较大的估计误差。当Z和X的相关性很强，即П很大时，估计结果较为准确。

接下来的问题就是，γ应该怎样取值。作者介绍了四种方法。第一种方法是列出γ的可能取值，然后分别进行估计。例如，假定γ=，（1）式可以转化为

（4）

然后，对（4）式进行二阶段最小二乘估计（2SLS）可以估计出。

第二种方法是假定γ取多个值，并且这几个值出现的概率不同。例如，γ以0.1的可能性取0.02，以0.9的可能性取0.03。第三种方法是假设γ服从一定的概率分布，如正态分布、均匀分布等，然后在γ的不同取值上进行点估计。第四种方法叫做贝叶斯估计。前三种方法均假定γ的取值或分布和β无关，第四种方法允许γ的分布和β有关系。（详细的技术细节请参见原文）在理论部分之后，作者利用以往文献中的几个经典数据，采用上述四种方法进行了估计，并且进行了比较。

这篇文章为解决内生性问题提供了新的方案，文中介绍的方法特别适用于工具变量和内生解释变量相关性较强，但是排他性假设又难以完全满足的情形。当然，IV最重要的卖点其实是它一阶段的故事，十分担心有一天大家会像GMM一样把这种方法玩坏了。重要的事情最后说：相应的stata命令为plausexog（My name is 雷锋）。