2014九年级(上)期末数学
一.选择题(本题12小题,每小题3分,共计36分.请把答案填到题后的答题栏内)
1.(3分)在,,,,中最简二次根式的个数是()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.(3分)(2010?南宁)下列计算结果正确的是()
A. += B. 3﹣=3 C. ×= D. =5
3.(3分)(2013?呼和浩特)观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.(3分)如图,在正方形ABCD中有一点E,把△ABE绕点B旋转到△CBF,连接EF,则△EBF的形状是()
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.(3分)如果关于x的方程(m﹣3)﹣x+3=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为()
A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 都不对
6.(3分)下列方程中,有实数根的是()
A. x2+4=0 B. x2+x+3=0 C. D. 5x2+1=2x
7.(3分)用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a(x﹣h)2+k的形式为()
A. y=(x+3)2+2 B. y=(x﹣3)2﹣2 C. y=(x﹣6)2﹣2 D. y=(x﹣3)2+2
8.(3分)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为()
A. x(x+1)=1035 B. x(x﹣1)=1035×2 C. x(x﹣1)=1035 D. 2x(x+1)=1035
9.(3分)(2012?淄博)如图,⊙O的半径为2,弦AB=,点C在弦AB上,AC=AB,则OC的长为()
A. B. C. D.
10.(3分)已知⊙01和⊙O2的半径分别为2和5,且圆心距O1O2=7,则这两圆的位置关系是()
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离
11.(3分)(2010?杭州)如图,5个圆的圆心在同一条直线上,且互相相切,若大圆直径是12,4个小圆大小相等,则这5个圆的周长的和为()
A. 48π B. 24π C. 12π D. 6π
12.(3分)PA、PB分别切⊙O于A、B两点,C为⊙O上一动点(点C不与A、B重合),∠APB=50°,则∠ACB=()
A. 100° B. 115° C. 65°或115° D. 65°
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
13.(4分)(2012?临沂)计算:4﹣=_________.
14.(4分)点A(3,n)关于原点对称的点的坐标为(﹣3,2),那么n=_________.
15.(4分)(2012?苏州二模)方程x(x﹣1)=x的根是_________.
16.(4分)已知一元二次方程(m+2)x2+7mx+m2﹣4=0有一个根为0,则m=_________.
17.(4分)如图,PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C,DE交PA、PB于点D、E,已知PA长8cm.则△PDE的周长为_________;若∠P=40°,则∠DOE=_________.
18.(4分)(2013?大港区一模)如图,一块含有30°角的直角三角形ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置.若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为_________.
三、解答题(本题共7个小题,满分60分)
19.(5分)计算:.
20.(10分)解下列方程.
(1)x2+4x﹣5=0;
(2)x(2x+3)=4x+6.
21.(5分)△ABC三个顶点A,B,C在平面直角坐标系中位置如图所示.将△ABC绕C点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,并写出A2的坐标.
22.(10分)(2011?天津)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I)如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(II)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形,求的值.
23.(8分)(2008?山西)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA,CB于点E,F,点G是AD的中点.求证:GE是⊙O的切线.
24.(12分)(2012?乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:
方案一:打九折销售;
方案二:不打折,每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.
25.(10分)一位同学拿了两块45°三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.
(1)如图1,两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为_________,周长为_________.
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为_________,周长为_________.
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形,如图3,请你猜想此时重叠部分的面积为_________.
(4)在图3情况下,若AD=1,求出重叠部分图形的周长.
一.选择题(本题12小题,每小题3分,共计36分.请把答案填到题后的答题栏内)
1.(3分)在,,,,中最简二次根式的个数是()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点: 最简二次根式.2448894 分析: 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是. 解答: 解:因为=,=2,=,
所以符合条件的最简二次根式为,,共2个.
故选:B. 点评: 本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2.(3分)(2010?南宁)下列计算结果正确的是()
A. += B. 3﹣=3 C. ×= D. =5
考点: 二次根式的混合运算.2448894 分析: 按照二次根式的运算法则进行计算即可. 解答: 解:A、和不是同类二次根式,不能合并,故A错误;
B、3﹣=(3﹣1)=2,故B错误;
C、×==,故C正确;
D、,故D错误;
故选C. 点评: 此题需要注意的是:二次根式的加减运算实质是合并同类二次根式的过程,不是同类二次根式的不能合并.
3.(3分)(2013?呼和浩特)观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点: 中心对称图形;轴对称图形.2448894 分析: 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 解答: 解:第一个图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形;
第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形;
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形;
所以,既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个.
故选C. 点评: 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
4.(3分)如图,在正方形ABCD中有一点E,把△ABE绕点B旋转到△CBF,连接EF,则△EBF的形状是()
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
考点: 旋转的性质;正方形的性质.2448894 分析: 根据旋转的性质知,△ABE≌△CBF,则BE=BF,所以△BEF为等腰直角三角形. 解答: 解:∵把△ABE绕点B旋转到△CBF,
∴△ABE≌△CBF,
∴BE=BF,
∵∠ABC=90°,
∴△BEF为等腰直角三角形.
故选:D. 点评: 此题主要考查了旋转的性,根据已知得出旋转角以及对应边是解题关键.
5.(3分)如果关于x的方程(m﹣3)﹣x+3=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为()
A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 都不对
考点: 一元二次方程的定义.2448894 分析: 本题根据一元二次方程的定义解答,一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.据此即可得到m2﹣7=2,m﹣3≠0,即可求得m的范围. 解答: 解:由一元二次方程的定义可知,
解得m=﹣3.
故选C. 点评: 要特别注意二次项系数m﹣3≠0这一条件,当m﹣3=0时,上面的方程就是一元一次方程了.
6.(3分)下列方程中,有实数根的是()
A. x2+4=0 B. x2+x+3=0 C. D. 5x2+1=2x
考点: 根的判别式.2448894 专题: 计算题. 分析: 先把D中的方程化为一般式,再计算四个方程的判别式的值,然后根据判别式的意义判断. 解答: 解:A、△=0﹣4×4<0,方程没有实数根,所以A选项错误;
B、△=1﹣4×3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;
C、△=(﹣)2﹣4×2×(﹣1)>0,方程有两个不相等的实数根,所以C选项正确;
D、5x2﹣2x+1=0,△=4﹣4×5×1<0,方程没有实数根,所以D选项错误.
故选C. 点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
7.(3分)用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a(x﹣h)2+k的形式为()
A. y=(x+3)2+2 B. y=(x﹣3)2﹣2 C. y=(x﹣6)2﹣2 D. y=(x﹣3)2+2
考点: 二次函数的三种形式.2448894 专题: 计算题;配方法. 分析: 由于二次项系数是1,利用配方法直接加上一次项系数一半的平方来凑完全平方式,可把一般式转化为顶点式. 解答: 解:y=x2﹣6x+11,
=x2﹣6x+9+2,
=(x﹣3)2+2.
故选D. 点评: 二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);
(2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k;(3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
8.(3分)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为()
A. x(x+1)=1035 B. x(x﹣1)=1035×2 C. x(x﹣1)=1035 D. 2x(x+1)=1035
考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.2448894 专题: 其他问题. 分析: 如果全班有x名同学,那么每名同学要送出(x﹣1)张,共有x名学生,那么总共送的张数应该是x(x﹣1)张,即可列出方程. 解答: 解:∵全班有x名同学,
∴每名同学要送出(x﹣1)张;
又∵是互送照片,
∴总共送的张数应该是x(x﹣1)=1035.
故选C. 点评: 本题考查一元二次方程在实际生活中的应用.计算全班共送多少张,首先确定一个人送出多少张是解题关键.
9.(3分)(2012?淄博)如图,⊙O的半径为2,弦AB=,点C在弦AB上,AC=AB,则OC的长为()
A. B. C. D.
考点: 垂径定理;勾股定理.2448894 分析: 首先过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理,即可求得AD,BD的长,然后由勾股定理,可求得OD的长,然后在Rt△OCD中,利用勾股定理即可求得OC的长. 解答: 解:过点O作OD⊥AB于点D,
∵弦AB=2,
∴AD=BD=AB=,AC=AB=,
∴CD=AD﹣AC=,
∵⊙O的半径为2,
即OB=2,
∴在Rt△OBD中,OD==1,
在Rt△OCD中,OC==.
故选D.
点评: 此题考查了垂径定理与勾股定理的应用.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
10.(3分)已知⊙01和⊙O2的半径分别为2和5,且圆心距O1O2=7,则这两圆的位置关系是()
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离
考点: 圆与圆的位置关系.2448894 分析: 由⊙O1与⊙O2的半径分别为2、5,且圆心距O1O2=7,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 解答: 解:∵⊙O1与⊙O2的半径分别为2和5,且圆心距O1O2=7,
又∵2+5=7,
∴两圆的位置关系是外切.
故选A. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键.
11.(3分)(2010?杭州)如图,5个圆的圆心在同一条直线上,且互相相切,若大圆直径是12,4个小圆大小相等,则这5个圆的周长的和为()
A. 48π B. 24π C. 12π D. 6π
考点: 相切两圆的性质.2448894 分析: 由图可知,四个小圆的直径和等于大圆直径,4个小圆大小相等,故小圆直径为12÷4=3,根据周长公式求解. 解答: 解:大圆周长为12π,四个小圆周长和为4×(12÷4)π=12π,
5个圆的周长的和为12π+12π=24π.故选B. 点评: 本题主要考查相切两圆的性质,解题的关键是熟记圆周长的计算公式:直径×π.
12.(3分)PA、PB分别切⊙O于A、B两点,C为⊙O上一动点(点C不与A、B重合),∠APB=50°,则∠ACB=()
A. 100° B. 115° C. 65°或115° D. 65°
考点: 切线的性质.2448894 分析: 画出图形,连接OA、OB,则OA⊥AP,OB⊥PB,求出∠AOB,继而分类讨论,可得出∠AC''B及∠ACB的度数. 解答: 解:连接OA、OB,
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点,
∴OA⊥AP,OB⊥PB,
①当点C在优弧AB上时,
∠AOB=180°﹣∠APB=130°,
∴∠AC''B=65°;
②当点C在劣弧AB上时,
∠ACB=180°﹣∠AC''B=135°.
综上可得:∠ACB=65°或115°.
故选C.
点评: 本题考查了切线的性质,需要用到的知识点为:①圆的切线垂直于经过切点的半径,②圆周角定理,③圆内接四边形的对角互补.
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
13.(4分)(2012?临沂)计算:4﹣=0.
考点: 二次根式的加减法.2448894 专题: 计算题. 分析: 先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可. 解答: 解:原式=4×﹣2=0.
故答案为:0. 点评: 此题考查了二次根式的加减运算,解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.
14.(4分)点A(3,n)关于原点对称的点的坐标为(﹣3,2),那么n=﹣2.
考点: 关于原点对称的点的坐标.2448894 分析: 根据两点关于原点的对称,横纵坐标符号相反,即可得出n的值. 解答: 解:∵A(3,n)关于原点对称的点的坐标为(﹣3,2),
∴n=﹣2,
故答案为:﹣2. 点评: 本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的特点,关键是把握坐标变化规律.
15.(4分)(2012?苏州二模)方程x(x﹣1)=x的根是x1=0,x2=2.
考点: 解一元二次方程-因式分解法.2448894 分析: 先将原方程整理为一般形式,然后利用因式分解法解方程. 解答: 解:由原方程,得x2﹣2x=0,
∴x(x﹣2)=0,
∴x﹣2=0或x=0,
解得x1=2,x2=0.
故答案为:x1=2,x2=0. 点评: 本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
16.(4分)已知一元二次方程(m+2)x2+7mx+m2﹣4=0有一个根为0,则m=2.
考点: 一元二次方程的解;一元二次方程的定义.2448894 分析: 根据条件,把x=0代入原方程可求m的值,注意二次项系数m+2≠0. 解答: 解:依题意,当x=0时,原方程为m2﹣4=0,
解得m1=﹣2,m2=2,
∵二次项系数m+2≠0,即m≠﹣2,
∴m=2.
故本题答案为:2. 点评: 本题考查了一元二次方程解的定义.方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值.
17.(4分)如图,PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C,DE交PA、PB于点D、E,已知PA长8cm.则△PDE的周长为16cm;若∠P=40°,则∠DOE=70°.
考点: 切线长定理.2448894 分析: 根据切线长定理,可得DC=DA,EC=EB,继而可将△PCD的周长转化为PA+PB,连接OA、OB、OD、OE、OC,则可求出∠AOB的度数,从而可得∠DOE的度数. 解答: 解:∵PA、PB、DE是⊙O的切线,
∴DA=DC,EC=EB,
∴△PDE的周长=PD+DC+EC+PE=PA+PB=2PA=16cm.
连接OA、OB、OD、OE、OC,
则∠AOB=180°﹣∠P=140°,
∴∠DOE=∠COD+∠COE=(∠BOC+∠AOC)=∠BOC=70°.
故答案为:16cm、70°. 点评: 此题考查了切线长定理及切线的性质,难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
18.(4分)(2013?大港区一模)如图,一块含有30°角的直角三角形ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置.若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为20πcm.
考点: 弧长的计算;旋转的性质.2448894 分析: 顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心,AC为半径,旋转的角度是180﹣60=120°,所以根据弧长公式可得. 解答: 解:=20πcm.
故答案为20πcm. 点评: 本题考查了弧长的计算以及旋转的性质,解本题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数.
三、解答题(本题共7个小题,满分60分)
19.(5分)计算:.
考点: 二次根式的混合运算.2448894 专题: 计算题. 分析: 先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2,然后利用二次根式的性质化简后合并即可. 解答: 解:原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+. 点评: 本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后进行二次根式的加减运算.
20.(10分)解下列方程.
(1)x2+4x﹣5=0;
(2)x(2x+3)=4x+6.
考点: 解一元二次方程-因式分解法.2448894 分析: (1)分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
(2)移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 解答: 解:(1)分解因式得:(x+5)(x﹣1)=0,
x+5=0,x﹣1=0,
x1=﹣5,x2=1;
(2)移项得:x(2x+3)﹣2(2x+3)=0,
(2x+3)(x﹣2)=0,
2x+3=0,x﹣2=0,
x1=﹣,x2=2. 点评: 本题考查了解一元二次方程的应用,关键是能把一元二次方程转化成解一元一次方程.
21.(5分)△ABC三个顶点A,B,C在平面直角坐标系中位置如图所示.将△ABC绕C点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,并写出A2的坐标.
考点: 作图-旋转变换.2448894 专题: 作图题. 分析: 根据网格结构找出点A、B、C绕点C顺时针旋转90°后的对应点的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标. 解答: 解:△A2B2C2如图所示;
点A2(8,3).
点评: 本题考查了利用旋转变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
22.(10分)(2011?天津)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I)如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(II)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形,求的值.
考点: 切线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性质.2448894 专题: 几何综合题. 分析: (1)连接OC,根据切线的性质得出OC⊥AB,再由勾股定理求得OA即可;
(2)根据菱形的性质,求得OD=CD,则△ODC为等边三角形,可得出∠A=30°,即可求得的值. 解答: 解:(1)如图①,连接OC,则OC=4,
∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB,
∴在△OAB中,由AO=OB,AB=10,
得AC=AB=5.
在Rt△AOC中,由勾股定理得OA===;
(2)如图②,连接OC,则OC=OD,
∵四边形ODCE为菱形,∴OD=CD,
∴△ODC为等边三角形,有∠AOC=60°.
由(1)知,∠OCA=90°,∴∠A=30°,
∴OC=OA,∴=.
点评: 本题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质,是一道综合题,要熟练掌握.
23.(8分)(2008?山西)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA,CB于点E,F,点G是AD的中点.求证:GE是⊙O的切线.
考点: 切线的判定;圆周角定理.2448894 专题: 证明题. 分析: 要证GE是⊙O的切线,只要证明∠OEG=90°即可. 解答: 证明:(证法一)连接OE,DE,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠AED=∠CED=90°,
∵G是AD的中点,
∴EG=AD=DG,
∴∠1=∠2;
∵OE=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,
∴∠OEG=∠ODG=90°,
故GE是⊙O的切线;
(证法二)连接OE,OG,
∵AG=GD,CO=OD,
∴OG∥AC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵OC=OE,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠3.
又OE=OD,OG=OG,
∴△OEG≌△ODG,
∴∠OEG=∠ODG=90°,
∴GE是⊙O的切线.
点评: 本题考查切线的判定方法及圆周角定理运用.
24.(12分)(2012?乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:
方案一:打九折销售;
方案二:不打折,每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.
考点: 一元二次方程的应用.2448894 专题: 增长率问题;压轴题. 分析: (1)设出平均每次下调的百分率,根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可;
(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果. 解答: 解(1)设平均每次下调的百分率为x.
由题意,得5(1﹣x)2=3.2.
解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.
因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,
符合题目要求的是x1=0.2=20%.
答:平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠.
理由:方案一所需费用为:3.2×0.9×5000=14400(元),
方案二所需费用为:3.2×5000﹣200×5=15000(元).
∵14400<15000,
∴小华选择方案一购买更优惠. 点评: 本题考查了一元二次方程的应用,在解决有关增长率的问题时,注意其固定的等量关系.
25.(10分)一位同学拿了两块45°三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.
(1)如图1,两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为4,周长为4+4.
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为4,周长为8.
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形,如图3,请你猜想此时重叠部分的面积为4.
(4)在图3情况下,若AD=1,求出重叠部分图形的周长.
考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;三角形中位线定理.2448894 分析: (1)根据AC=BC=4,∠ACB=90°,得出AB的值,再根据M是AB的中点,得出AM=MC,求出重叠部分的面积,再根据AM,MC,AC的值即可求出周长;
(2)易得重叠部分是正方形,边长为AC,面积为AC2,周长为2AC.
(3)过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME,垂足为H、E.求得Rt△MHD≌Rt△MEG,则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积.
(4)先过点M作ME⊥BC于点E,MH⊥AC于点H,根据∠DMH=∠EMH,MH=ME,得出Rt△DHM≌Rt△EMG,从而得出HD=GE,CE=AD,最后根据AD和DF的值,算出DM=,即可得出答案. 解答: 解:(1)∵AC=BC=4,∠ACB=90°,
∴AB===4,
∵M是AB的中点,
∴AM=2,
∵∠ACM=45°,
∴AM=MC,
∴重叠部分的面积是=4,
∴周长为:AM+MC+AC=2+2+4=4+4;
故答案为:4,4+4;
(2)∵叠部分是正方形,
∴边长为×4=2,面积为×4×4=4,
周长为2×4=8.
故答案为:4,8.
(3)过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME,垂足为H、E,
∵M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=4,
∴MH=BC,
ME=AC,
∴MH=ME,
又∵∠NMK=∠HME=90°,
∴∠NMH+∠HMK=90°,∠EMG+∠HMK=90°,
∴∠HMD=∠EMG,
在△MHD和△MEG中,
∵,
∴△MHD≌△MEG(ASA),
∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积,
∵正方形CEMH的面积是ME?MH=×4××4=4;
∴阴影部分的面积是4;
故答案为:4.
(4)如图所示:
过点M作ME⊥BC于点E,MH⊥AC于点H,
∴四边形MECH是矩形,
∴MH=CE,
∵∠A=45°,
∴∠AMH=45°,
∴AH=MH,
∴AH=CE,
在Rt△DHM和Rt△GEM中,,
∴Rt△DHM≌Rt△GEM.
∴GE=DH,
∴AH﹣DH=CE﹣GE,
∴CG=AD,
∵AD=1,
∴DH=1.
∴DM==
∴四边形DMGC的周长为:
CE+CD+DM+ME
=AD+CD+2DM=4+2.
点评: 此题考查了等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质,等腰直角三角形的面积公式,正方形的面积公式,全等三角形的判定和性质求解.
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