質數理論的千載迷蹤 | 灼見名家

上周介紹了我兩年前在拔萃女書院講解的博弈論，而博弈論是為研究經濟學、政治學等牽涉互動決策的現實問題而創立。然而，更多時候，一個數學範疇卻是在毫無現實應用的情況下發展起來的。人們初時沒有計劃把它應用在某個現實問題，甚至難以想像它將來可以出現在什麼現實情況。由一門數學分支的萌芽到其找到在現實中的應用，往往需要數十至數百年的時間，或者更多。一個典型的例子就是我三年前回到母校聖保羅男女中學分享時講述的數論（number theory）。

數論主要是研究正整數（即1、2、3等）的學問，在數學中至為純粹，地位超然，有「數學的皇后」之美譽。而正整數的基本組成元素是質數，即只可被1和自己這兩個正整數整除的正整數，例如2、3、5等（但4則不是質數，因為4可被2整除）。任何正整數都可唯一地分解成質數的乘積（例如6 = 2 × 3），因此質數之於數論，猶如化學元素之於化學，至關重要。

人類對質數奧秘的探索有著悠久的歷史。早在古希臘時期，《幾何原本》作者歐幾里得便巧妙地證明了共有無限個質數：假設只有有限個質數，把它們全部相乘後加1，得出的這個大數除以任何質數都是餘1，故此不能分解成質數的乘積，而此為荒謬，所以不可能只有有限個質數。當時質數的現實應用還未被發掘，幸好古希臘社會崇尚真理，不像今日香港般金錢掛帥，否則歐幾里得窮一生精力研究此等「無用之物」，肯定會被人「笑到面黃」吧！

質數之道千年無用

質數和數論「無用」的狀況持續了幾千年。話說20世紀上半葉的戰亂時期，一個數學家被誤以為間諜而捉去處決，他連忙拿出跟一位知名數學家合作的數論文章，證明自己只是個研究「無用之物」的無辜學者，方才避過一劫。他事後笑稱，這大概是數論在現實生活中的唯一應用！

另一位20世紀數學家哈代（G. H. Hardy）在1940年寫下《一個數學家的自白》（A Mathematician’s Apology），流露出兩次世界大戰時代的思潮。他為自己的專業──數論──作為一門清白的學問，沒有任何戰爭用途而感到欣慰。然而，在20世紀下半葉，事情卻起了峰迴路轉的變化。

加密通訊一向是戰爭中極為關鍵的一環。軍隊能否成功將己方的通訊加密，並破解截取到的敵軍軍情，往往可以決定勝敗。在第二次世界大戰中，就是全憑同盟國的數學家破譯德軍的 Enigma 密碼，掌控軸心國的機密情報，估計足足令二戰提早兩年結束，免卻多少生靈塗炭。

1977年，三名麻省理工學院的學者運用數論中的質因數分解原理，發明了一種新的加密方法——RSA 演算法。用這個方法將訊息加密，需要計算兩個大型質數的乘積。沒有收訊密鑰的其他人若要解密，則需從該乘積找回原來的兩個質數。RSA 演算法的關鍵不在於沒有人知道怎樣破譯，而在於需要極長時間方能完成破譯：要計算兩個質數的乘積相對容易，但即使我光明正大地告訴你那個乘積是什麼，要找回如此大數的質因數分解卻十分困難，屹今未發現任何快捷方法。這個加密法應用在軍事中，待敵方花上幾百年時間找到質因數分解，已是猴年馬月！

若然知道基於數論原理的 RSA 演算法已成為各國軍隊不可或缺的加密工具，哈代在九泉之下，想必七竅生煙。不過，哈代實在不用太過傷心，畢竟任何數學應用都有善惡兩面。軍事技術既可用來發動不義之戰，亦可用來守護家園，保衛和平。況且 RSA 加密技術今日也廣泛用於銀行、商業保安等領域，造福人民。順帶一提，如果你找到一個快速質因數分解的方法，千萬不要告訴別人，否則不法之徒便會用它來瞬間破解所有電子加密系統，偷走全世界人在銀行裏的錢！

一個數學範疇可能歷盡千載滄桑，才在現實世界中找到應用。在追求真理的道路上，這種信念必不可少。同時，現實中的應用又會為抽象學問的發展注入動力，甚至為理論的探索方向帶來靈感。理論和應用正是憑這種輔車相依的關係，一起推動文明前進。

原刊於《大公報》，獲作者授權轉載。

（封面圖片: 網上圖片）