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“直觉”(Intuition)一词实际上有许多种用法。有时它指感性直观，即可见的，靠感官可直接把握的东西；有时它指非逻辑的，力图直接领悟事物本质的思考。直觉有时意味着不够严格，不完全；有时意味着对现实原型的信赖，意味着一种笼统的、综合性的整体判断。还有些时候，直觉只是被理解为“顿悟”，理解为灵感的闪现。这个词的用法如此之多，以至于我们不得不明确指在我们的理解。 在这里，我们认为直觉指的是对事物本质的直接领悟或洞察。数学直觉就是对于数学对象事物(结构及其联系)的某种直接领悟或洞察。这是一种不包含普通逻辑推理过程(但可能包含着“含情推理”形式)的直接悟性，属于非形式逻辑的思维活动范畴。直觉有时以“顿悟”的形式表现出来，但直觉不全是顿悟，有时直觉也以渐悟的形式表现出来。那么，“直觉”和我们前面讨论的“想象”有何区别呢?为什么说较为复杂的想象已进入了直觉领域呢?这就需要考察直觉思维的基本特点，从中看出这种思维形式与数学想象和数学猜测的区别与联系。 数学直觉思维总的说来有以下几个基本特点： 第一，非逻辑性。 数学直觉的产生是不能用普通形式逻辑的推演解释清楚的。庞卡莱说：“搞算术，就如搞几何，或搞任何别的科学，需要某种与纯逻辑不同的东西。为了表述这个某种东西，我们没有更好的字眼，只能用‘直觉’一词”。就是说，直觉是“从事科学发现所需要的与纯逻辑不同的某种东西”。为什么科学发现需要这种不同于纯逻辑的东西呢?因为在探索未知世界规律的过程中，人们的主观认识同客观规律之问需要经过多次带有很大偶然性的相互作用才能彼此相符，这中间有机遇，有潜在的经验和技巧，有来自书本上或和别人谈话中的启示，有思维过程中“观念原子”千变万化的分离与组合。所有这些都不是用严格的形式逻辑推演能表达清楚的。能够用逻辑语言描述的数学思维活动，只是整个数学思维活动中很小的一部分。数学的猜测和想象实际上已经具有一定程度的非逻辑性，但总还保存某些逻辑思维成分。猜测和想象的形成与展开要部分借助逻辑思维提供的线索或框架。如果数学思维中非逻辑性极强，逻辑思维成分极弱，那就是我们所说的直觉思维了。我们前面说过，数学形象思维中的数觉和数学观念的直觉已进入直觉思维领域，就是这个意思。越是复杂的数学想象，越少逻辑性。在逻辑语言无能为力的地方，只能以“直觉”一言以蔽之。直觉看来很神秘，其实它不是人们创造性思维活动的一个真实方面。
第二，自发性。 数学直觉的产生往往是下意识的(或者说是无意识的)。它有时在朦胧中逐渐涌现，有时如闪电一般突然诞生。无论取渐悟还是顿悟的形式，都是事先未曾料到，不知不觉之中即已获得。英国数学家哈密尔顿在回忆自己发现四元数的经过时说到，当他和他的妻子步行去都柏林途中来到勃洛翰桥上时，思想的电路突然接通了，从中落下的火花就是i、j、k之间的基本方程。庞卡莱也曾有过类似经历。他在进行了一般数学研究之后去乡间旅行，打算放松一下，不再去想工作了。他说：“我的脚刚踏上刹车板，突然想到一种设想……我用来定义富克斯函数的变换方法同非欧几何的变换方法是完全一样的。”这种突如其来的直觉并不是凭空得来的，而是经过长时间苦心思索之后的产物。人们常称这种直觉为“灵感”，其实，“灵感”是需要经过充分酝酿的，是要经过下意识的紧张活动积累起思想基础的，否则就不会有什么灵气。为什么人们长期钻研而求之不得，一旦思想放松转入下意识状态，反而以直觉形式取得突破呢?因为过度的形式逻辑推演往往是限制人们思路的，使人们在旧理论的框架里兜圈子，找不到新思路。适当的放松使思路可以轻松自由地舒展。虽然是在下意识状态，却容易接近正确的途径，取得重大突破。当然，直觉的自发性要同逻辑思维的自觉性相配合。如果事先没有通过逻辑思维接近关键性观念的边缘，使人们有可能利用下意识取得突破，那么灵感或顿悟是永远不会出现的。
第三，富于情感的作用。 这里所说的情感作用，指的是获得直觉的激情和对直觉的强烈信念。在数学猜测与数学想象中，或多或少也有情感的作用。但在直觉思维过程中，情感作用得到了充分发挥，达到登峰造极的地步。一般说来，直觉的产生前后大体上有这样一些情感变化。直觉产生之前，情绪躁动不安，对某个问题长时问思索而得不到解决，欲罢不能，欲进无路，就很容易产生这种情绪。等到直觉出现时，令人十分惊喜，甚至感到有些神志恍惚，仿佛“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，有一种明显的解脱感。然后，就是情绪极度高涨，对所获得的直觉认识执著地相信，并以此为基础连续工作很长时间毫无倦意。爱因斯坦就曾叙述过自己的这种心态。他说到获得灵感后撰写相对论的第一篇论文时说：“这几个星期里，我在自己身上观察到各种精神失常现象。我好像处在狂态里一样。”他还说：“在最后突破、豁然开朗之前，那在黑暗中对感觉到了却又不能表达出来的真理进行探索的年月，那强烈的愿望，以及那种时而充满信心，时而担忧疑虑的心情——所有这一切，只有亲身经历过的人才能体会。” 数学直觉思维的上述特点，在较为复杂的数学想象中都有所表现。因此，在许多场合，数学家们往往把二者混用。也有人认为形象思维本身就是数学直觉思维的一个特点。就数学直觉的渐悟形式来说，这个特点是明显的。但就数学直觉的顿悟形式(或者说“灵感”)而言，很难说有一个较明显的形象思维过程。因为顿悟是瞬问发生的，是一种思想上的飞跃。其中是否曾有形象思维的作用，至少现在还弄不清楚。这是一个有待深入研究的问题。 还有些人以为，直觉思维是一种非理性的思维活动，非理性也可看作数学直觉思维的一个特点。这种观点是不妥的。尽管数学直觉具有非逻辑性、自发性和情感作用等特点，但它并不是完全无规律可循的。数学家们通过长期的实践，已逐渐形成获得数学直觉的若干指导性原则，如简单性、统一性、对称性、美学标准，等等，其具体内容我们后面还要专门分析。这些原则都是可以从科学认识过程的合理性角度加以阐述的，它们在更深的理论层次上反映了数学的一些基本特性，反映了数学各分支之间本质上的有机联系。数学直觉是在这些原则的指导下，通过自觉或不自觉的思维过程逐渐产生的。因而它们并不是非理性的、不可解释的神秘的东西。在某种意义上倒可以说，直觉思维包含辩证思维的某些因素，它超越了形式逻辑推演的框架，不自觉地运用了辩证逻辑的推理模式，从而导致了一些重要的科学发现。当然，直觉思维还不等于辩证思维。但是在直觉思维的深层结构和活动过程中，有可能蕴藏着远远超出目前人们对辩证逻辑所了解的内容。这是一个很值得继续发掘的宝库。 摘自《数学与思维》 |
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